[论文解读] Constructions of Maximally Recoverable Local Reconstruction Codes via Function Fields

Venkatesan Guruswami, Lingfei Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Advanced Data Storage Technologies参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于代数函数域的新构造方法，用于构建最大可恢复局部重建码（MR LRCs），与先前方法相比，显著减小了域大小。通过将局部组与函数域中的不同点相关联，并利用具有单极点的函数构造的Moore矩阵，作者利用Moore行列式的性质证明了线性无关性，从而得到域大小从关于 h 或 a 的指数级降低到关于 n 的多项式或次指数级的 MR LRCs，尤其在小 r 和大 h 的情形下显著改进了界。

ABSTRACT

Local Reconstruction Codes (LRCs) allow for recovery from a small number of erasures in a local manner based on just a few other codeword symbols. A maximally recoverable (MR) LRC offers the best possible blend of such local and global fault tolerance, guaranteeing recovery from all erasure patterns which are information-theoretically correctable given the presence of local recovery groups. In an $(n,r,h,a)$-LRC, the $n$ codeword symbols are partitioned into $r$ disjoint groups each of which include $a$ local parity checks capable of locally correcting $a$ erasures. MR LRCs have received much attention recently, with many explicit constructions covering different regimes of parameters. Unfortunately, all known constructions require a large field size that exponential in $h$ or $a$, and it is of interest to obtain MR LRCs of minimal possible field size. In this work, we develop an approach based on function fields to construct MR LRCs. Our method recovers, and in most parameter regimes improves, the field size of previous approaches. For instance, for the case of small $r \ll ε\log n$ and large $h \ge Ω(n^{1-ε})$, we improve the field size from roughly $n^h$ to $n^{εh}$. For the case of $a=1$ (one local parity check), we improve the field size quadratically from $r^{h(h+1)}$ to $r^{h \lfloor (h+1)/2 floor}$ for some range of $r$. The improvements are modest, but more importantly are obtained in a unified manner via a promising new idea.

研究动机与目标

• 为解决在分布式存储中实际部署至关重要的最大可恢复局部重建码（MR LRCs）中最小化域大小这一长期挑战。
• 开发一种统一的代数几何框架，利用函数域构造出域大小明显小于现有显式构造的 MR LRCs。
• 通过利用函数域的几何性质，改进先前在小局部度 r 和大全局校验数 h 的情形下的域大小界，特别是改善对 h 的指数依赖关系。
• 建立一种系统化方法，既能恢复已知构造，又能将其适用范围扩展到更广泛的参数区域，并实现更优的域大小缩放。

提出的方法

• 该方法使用有限域上的代数函数域，将 LRC 中的每个局部组与函数域曲线上的一个不同点（位置）相关联。
• 对于每个局部组，使用在关联点处具有单极点的函数来构造 Moore 矩阵，这些矩阵构成码的局部校验分量。
• 通过利用 Moore 行列式的性质，将依赖关系从扩域减少到基域，从而证明了实现最大可恢复性所必需的线性无关性。
• 在每个局部组内部，通过在基域上使用 MDS 码的直接编码设计确保线性无关性。
• 全局校验由度数为 2g−1 的除子的 Riemann-Roch 空间导出，其中 g 是函数域的亏格。
• 域大小被限制为 q^{2g + min{hr, n}}，其中 q 是基域大小，g 是亏格，r 是局部度，h 是全局校验数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用函数域理论构造出比当前显式构造更小域大小的 MR LRCs？
• RQ2 在小 r 和大 h 的情形下，MR LRCs 所需的最小域大小是多少？能否将其改进为超越对 h 的指数依赖？
• RQ3 能否开发一种统一的代数几何框架，以推广并改进先前的构造？
• RQ4 函数域的几何性质（如有理点数量和除子结构）如何转化为码参数和域大小界？

主要发现

• 当小 r ≪ ε log n 且大 h ≥ Ω(n^{1−ε}) 时，域大小从大约 n^h 降低到 n^{εh}，在渐近缩放上实现了显著改进。
• 当 a = 1（每组一个局部校验）时，域大小从 r h(h+1) 优化为 r h ⌊(h+1)/2⌋，在某些 r 范围内实现了二次改进，获得了更紧的界。
• 当 hr ≥ Ω(n^{2/3ε}) 时，利用 Hermitian 函数域，可在无穷多个块长 n ≥ r^{Ω(r)} 下实现域大小 O(n^{2h/3(1+ε)})。
• 利用 Garcia-Stichtenoth 塔，当 hr ≥ Ω(n^{1−ε}) 时，可在无穷多个 n ≥ r^{Ω(r/ε)} 下将域大小限制为 O(n^{εh})，展示了次指数级的域大小缩放。
• 该方法提供了一个统一框架，既能恢复又能改进先前构造，尤其在高 h 和低 r 的情形下表现更优。
• 通过在不同点处具有单极点的函数构造的 Moore 矩阵，利用 Moore 行列式恒等式，确保了局部组之间的所需线性无关性。