[论文解读] Constructions of nontautological classes on moduli spaces of curves

T.M. Graber, Rahul Pandharipande|ArXiv.org|Apr 4, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 32

一句话总结

该论文通过奇上同调与边界子簇之间的相互作用，在曲线模空间上构造了非典型代数周期，这些周期并非典型。通过分析胶合映射下上同调类的拉回并应用Künneth分解判别法，作者证明了特定闭链（包括一个亏格2的双椭圆闭链和边界除子中的对角线）的非典型性，解决了关于Q上非典型类存在的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We construct explicit examples of algebraic cycles in \bar M_g (for large g congruent to 2 mod 4) and in M_2,20 (no bar) which are not in the tautological ring. In an appendix we give a general method for computing intersections in the tautological ring.

研究动机与目标

• 解决关于Q上曲线模空间中是否存在非典型代数周期的开放性问题。
• 确定代数周期的上同调像是否可能不在典型上同调环内。
• 研究非紧致空间M_{g,n}上非典型类的存在性。
• 提供此类周期的显式构造，超越抽象存在性证明。

提出的方法

• 基于Künneth分解的判别准则：若一个上同调类在模空间乘积上的拉回不是典型的，则原类为非典型的。
• 应用胶合映射ι: M_{g₁,n₁∪{*}} × M_{g₂,n₂∪{•}} → M_{g₁+g₂,n₁+n₂}，以关联边界除子上的类。
• 利用Pikaart和Getzler的结果，借助M_{1,11}和M_{h,1}（h为奇数且较大）中的奇上同调，检测非典型行为。
• 分析群作用的不动点集，如在M_{2,20}上由10个不相交对换的乘积诱导的对合，以构造余维1的闭链。
• 利用分层映射下典型类的拉回公式，特别是ψ类和κ类，以验证拉回中的典型性行为。
• 应用边界包含下对角类的上推，以检测高维模空间中非典型行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在曲线模空间上是否存在定义在Q上的非典型代数周期？
• RQ2 代数周期的上同调像是否可能不包含在典型上同调环RH^{*}(M_{g,n})中？
• RQ3 在非紧致模空间M_{g,n}上是否存在非典型类？
• RQ4 M_{2,22}的边界除子中的对角类是否为非典型的？
• RQ5 能否给出非典型周期的显式构造，而非仅抽象的存在性证明？

主要发现

• 对于充分大的奇数h，亏格2h曲线存在2度映射到亏格h曲线的闭链[Y]在RH^{*}(M_{2h})中不是典型的。
• 在对合作用下，20个标记点的双椭圆曲线的不动点集闭链[Z]不在RH^{*}(M_{2,20})中，证明其为非典型的。
• 通过分析其上同调像（基于Getzler对M_{1,11}的结果），[Z]在M_{2,20}的内部仍保持非典型性。
• 在边界映射下，M_{1,12}×M_{1,12}中对角类Δ的上推在RH^{*}(M_{2,22})中不是典型类。
• 作者提供了显式且积分定义的非典型代数周期，回答了关于Q上此类周期存在性的长期悬而未决问题。
• 该构造依赖于奇上同调存在时Künneth分解无法保持典型性，从而提供了一种具体的检测方法。