[论文解读] Constructions of small symplectic 4-manifolds using Luttinger surgery

Scott Baldridge, Paul Kirk|ArXiv.org|Mar 2, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过Luttinger手术构建了小规模的极小辛4-流形，产生了目前已知具有阿贝尔基本群（包括有限、无限循环群和自由阿贝尔群）的最小例子，其欧拉示性数为6，亏格为−2。文中引入了如与$\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$同胚但不同胚的流形、以及$3\mathbb{CP}^2\#5\overline{\mathbb{CP}}^2$等构建模块，使它们可作为4-流形构造中$E(1)$的替代品。

ABSTRACT

In this article we use the technique of Luttinger surgery to produce small examples of simply connected and non-simply connected minimal symplectic 4-manifolds. In particular, we construct: (1) An example of a minimal symplectic 4-manifold that is homeomorphic but not diffeomorphic to CP^2#3(-CP^2) which contains a symplectic surface of genus 2, trivial normal bundle, and simply connected complement and a disjoint nullhomologous Lagrangian torus with the fundamental group of the complement generated by one of the loops on the torus. (2) A minimal symplectic 4-manifold that is homeomorphic but not diffeomorphic to 3CP^2#5(-CP^2) which has two essential Lagrangian tori with simply connected complement. These manifolds can be used to replace E(1) in many known theorems and constructions. Examples in this article include the smallest known minimal symplectic manifolds with abelian fundamental groups including symplectic manifolds with finite and infinite cyclic fundamental group and Euler characteristic 6.

研究动机与目标

• 构建具有小欧拉示性数和受控基本群（特别是阿贝尔群）的极小辛4-流形。
• 为4-流形构造中的椭圆曲面$E(1)$提供小规模的奇异替代品，尤其适用于手术和求和运算。
• 构造具有特定基本群（如$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/p \oplus \mathbb{Z}/q \oplus \mathbb{Z}/r$、自由群）和预定拓扑不变量的辛流形。
• 证明对于给定阿贝尔基本群的辛流形，其极小欧拉示性数随生成元数量呈二次增长，主导项为$\frac{1}{2}n^2$。
• 确立存在无限多对彼此不同胚的辛4-流形，它们同胚于$\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$。

提出的方法

• 利用Luttinger手术通过在拉格朗日子环上执行德恩变换来修改辛4-流形，改变基本群的同时保持辛结构。
• 应用塞弗特–冯坎彭定理计算手术后的基本群，特别追踪拉格朗日子环上的回路如何在辛求和中被“消去”。
• 应用格姆普夫的辛求和构造，将构建模块（如$X_1$、$B$、$X$）与凯勒曲面（如$\mathrm{Sym}^2(F_g)$）粘合，以实现目标基本群。
• 利用弗雷德曼定理确保手术后同胚类型不变，同时利用塞伯格–威滕理论区分不同胚类型。
• 对$\mathrm{Sym}^2(F_g)$上的辛形式进行微扰，使其拉格朗日子环为辛且互不相交，从而实现受控的辛求和。
• 应用定理23表明，与$X_1$进行辛求和可消去$\pi_1$中的特定元素（如$x_4 a_4^{d_1}$），从而实现目标基本群。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定阿贝尔基本群的极小辛4-流形，其最小欧拉示性数是多少？
• RQ2 Luttinger手术能否产生具有有限、无限循环或自由阿贝尔基本群、且欧拉示性数为6的小型辛4-流形？
• RQ3 能否构造出具有小欧拉示性数和受控基本群的奇异（同胚但不同胚）辛4-流形？
• RQ4 在标准4-流形构造中，椭圆曲面$E(1)$能否被更小的辛4-流形替代？
• RQ5 对于具有$n$个生成元的阿贝尔基本群，辛4-流形的极小欧拉示性数的渐近增长速率如何？

主要发现

• 本文构造了一个极小辛4-流形，其同胚于但不同胚于$\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$，具有一个辛亏格2曲面和一个不与任何同调类相交的零同调拉格朗日子环，其补集的基本群由该子环上的一个回路生成。
• 构造了一个极小辛4-流形，其同胚于但不同胚于$3\mathbb{CP}^2\#5\overline{\mathbb{CP}}^2$，包含两个本质的拉格朗日子环，其补集单连通且法丛平凡。
• 构造了一个极小辛流形$X_1$，满足$e(X_1) = 6$，$\sigma(X_1) = -2$，且$\pi_1(X_1) \cong \mathbb{Z}$，其中一个辛子环$T$的法丛平凡，且包含映射$X_1 - T \to X_1$在$\pi_1$上诱导同构，而包含映射$T \to X_1$则消去$\pi_1(T)$的一个生成元。
• 对于任意有限生成阿贝尔群$G$（具有$n$个生成元），存在一个辛4-流形$N_G$，满足$e(N_G) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{19}{2}n + 36$，且$\sigma(N_G) = -\frac{5}{2}n - 8$，表明极小欧拉示性数随$n$呈二次增长。
• 通过零同调拉格朗日子环和文献[11]的方法，构造了一个无限多对彼此不同胚的辛4-流形族，所有流形均同胚于$\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$。
• 对于任意非负整数$n$，存在一个辛4-流形，其基本群为秩$n$的自由群，$e = 10$，$\sigma = -2$，证明了具有自由基本群的小型奇异流形的存在性。