[论文解读] Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs and Skew Hadamard Difference Sets from Cyclotomic Classes

Tao Feng, Koji Momihara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 10

一句话总结

本论文利用有限域中的分圆类，结合指数-2高斯和而非分圆数，提出了强正则Cayley图和斜Hadamard差集的新构造方法。该方法构造了三个具有新参数的强正则图无限族，以及一个在有限域加法群中新的斜Hadamard差集无限族。

ABSTRACT

In this paper, we give a construction of strongly regular Cayley graphs and a construction of skew Hadamard difference sets. Both constructions are based on choosing cyclotomic classes in finite fields, and they generalize the constructions given by Feng and Xiang \cite{FX111,FX113}. Three infinite families of strongly regular graphs with new parameters are obtained. The main tools that we employed are index 2 Gauss sums, instead of cyclotomic numbers.

研究动机与目标

• 推广基于分圆类的强正则Cayley图与斜Hadamard差集的先前构造方法。
• 通过改用指数-2高斯和替代传统的分圆数计算，克服大阶数下分圆数计算的局限性。
• 建立具有此前未知参数的强正则图的新无限族。
• 在奇特征有限域中构造新的斜Hadamard差集族。
• 为Ivanov关于可换关联方案的猜想提供反例，尤其在本原情形下。

提出的方法

• 在有限域 $ \bbF_q $ 中使用阶为 $ N = 2p_1^m $ 的分圆类，其中 $ q = p^f $，$ p $ 为奇素数。
• 以指数-2高斯和为主要工具，替代传统上用于参数评估的分圆数。
• 利用高斯和取值与特征和的条件，判断分圆类的并集何时构成部分差集。
• 推导出分圆类并集生成强正则Cayley图或斜Hadamard差集的必要与充分条件。
• 从所得图中构造关联方案，证明融合操作保持强正则性，并产生非可换关联方案。
• 运用代数数论分析高斯和在 $ \bbQ(\sqrt{-p_1}) $ 上的行为，使得在某些情形下参数与 $ m $ 无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 指数-2高斯和能否比分圆数更有效地用于构造新的强正则Cayley图与斜Hadamard差集？
• RQ2 分圆类并集构成部分差集的高斯和取值的必要与充分条件是什么？
• RQ3 新构造是否产生具有此前未知参数的强正则图无限族？
• RQ4 该构造能否在奇特征有限域中生成新的斜Hadamard差集？
• RQ5 所得关联方案是否为Ivanov关于可换关联方案猜想提供反例？

主要发现

• 构造了三个具有新参数 $ (v,k,\lambda,\mu) $ 的强正则图无限族，包括 $ v = 5^{9 \cdot 19^{m-1}} $，$ k = 5^{9 \cdot 19^{m-1} - 1} \cdot (5^{9 \cdot 19^{m-1}} - 1)/2 $，且 $ \lambda, \mu $ 由高斯和条件导出。
• 在 $ (\bbF_q, +) $ 中构造了一个新的斜Hadamard差集族，其中 $ q = 3^{53 \cdot 107^{m-1}} $，$ b = 1 $，$ h = 3 $，$ N = 2 \cdot 107^m $。
• 该构造产生无限族伪循环、非可换关联方案，其中每个非平凡关系均为强正则图。
• 结果推广了Feng与Xiang [10, 12] 的早期构造，通过指数-2高斯和将其扩展至新的参数集。
• 该方法在本原情形下产生Ivanov猜想的反例，给出新的非可换关联方案无限系列。
• 在某些情形下，由于高斯和模 $ p_1 $ 同余关系的不变性，参数条件与 $ m $ 无关，从而实现统一的参数族。