[论文解读] Constructive Algorithms for Discrepancy Minimization

Nikhil Bansal|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Mathematical Approximation and Integration参考文献 9被引用 40

一句话总结

本文提出了首个多项式时间的随机化算法，用于不和谐性最小化问题，通过熵方法实现与存在性结果相匹配的界。通过将元素颜色建模为由半定规划引导的随机游走，该算法在 m ≥ n 时实现 O(n^{1/2} log(2m/n)) 的不和谐性，在有界度数集合系统中实现 O(t^{1/2} log n) 的不和谐性，以及在遗传不和谐性情况下实现 O(λ log(nm)) 的不和谐性，从而解决了不和谐性理论中长期存在的算法差距。

ABSTRACT

Given a set system (V,S), V={1,...,n} and S={S1,...,Sm}, the minimum discrepancy problem is to find a 2-coloring of V, such that each set is colored as evenly as possible. In this paper we give the first polynomial time algorithms for discrepancy minimization that achieve bounds similar to those known existentially using the so-called Entropy Method. We also give a first approximation-like result for discrepancy. The main idea in our algorithms is to produce a coloring over time by letting the color of the elements perform a random walk (with tiny increments) starting from 0 until they reach $-1$ or $+1$. At each time step the random hops for various elements are correlated using the solution to a semidefinite program, where this program is determined by the current state and the entropy method.

研究动机与目标

• 通过提供与非构造性存在性界相匹配的构造性算法，弥合不和谐性最小化中的算法差距。
• 解决长期悬而未决的开放问题：Spencer的“六个标准差足够”结果能否被构造化？
• 将构造性保证扩展到有界度数集合系统和遗传不和谐性，使其与已知的存在性界相匹配。
• 开发一种基于SDP引导随机游走的新型随机化算法框架，用于不和谐性最小化。
• 提供不和谐性问题的首个多项式时间近似类结果，优于随机着色。

提出的方法

• 将元素颜色建模为从 0 开始的连续随机游走，逐步向 −1 或 +1 移动。
• 在每个时间步使用半定规划（SDP）根据当前状态和熵约束，关联随机游走的增量。
• 应用熵方法引导SDP解，确保任意集合超过不和谐性阈值的概率最小化。
• 根据不和谐性阈值定义“危险”集合，并使用集中不等式控制其数量。
• 使用马尔可夫不等式和切尔诺夫型不等式，限制在游走过程中过多集合变得高度危险的概率。
• 将SDP解整合到一个随机化算法中，保持可行性，并以高概率确保低不和谐性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 m ≥ n 时通过算法实现 Spencer 的 O(n^{1/2} log(2m/n)) 不和谐性界？
• RQ2 是否存在一个构造性算法，用于有界度数集合系统，实现 O(t^{1/2} log n) 的不和谐性，与 Srinivasan 的存在性结果相匹配？
• RQ3 能否通过高效算法，以对数因子内构造性地逼近遗传不和谐性 λ？
• RQ4 能否通过由 SDP 引导的构造性随机游走框架，使熵方法实现算法化？
• RQ5 对于一般集合系统，多项式时间内可实现的最差不和谐性是多少？能否与存在性界相匹配？

主要发现

• 该算法以至少 1/log m 的概率实现 m ≥ n 时的 O(n^{1/2} log(2m/n)) 不和谐性，与 Spencer 的存在性界仅相差对数因子。
• 对于每个元素最多出现在 t 个集合中的集合系统，该算法以至少 1/n 的概率实现 O(t^{1/2} log n) 的不和谐性，与 Srinivasan 的存在性结果相匹配。
• 该算法生成的着色具有 O(λ log(nm)) 的不和谐性，其中 λ 为遗传不和谐性，提供了对 λ 的对数因子内构造性逼近。
• 当存活变量数量保持在 a/2 以上时，该算法以常数概率（1/2）成功，确保整个游走过程的可行性。
• 分析结合了 SDP、基于熵的约束和集中不等式，以控制高不和谐性集合出现的概率。
• 该框架是首个使熵方法完全算法化的框架，解决了不和谐性理论中长期悬而未决的开放问题。