[论文解读] Constructive Analysis in Infinitely many variables

Tepper L. Gill, Gogi Pantsulaia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 5

一句话总结

本论文利用冯·诺伊曼的无限张量积希尔伯特空间框架，在 $\mathbb{R}^\infty$ 上构造了一个规范的、$σ$-有限的勒贝格测度，从而实现了 $L^2$ 理论、傅里叶变换以及无界算子的定义。该研究在具有 Schauder 基的可分 Banach 空间上建立了勒贝格测度与高斯测度的构造性无限维类比，扩展了杨不等式，并实现了无穷多个变量的偏微分算子理论。

ABSTRACT

In this paper we investigate the foundations for analysis in infinitely-many (independent) variables. We give a topological approach to the construction of the regular $\s$-finite Kirtadze-Pantsulaia measure on $\R^\iy$ (the usual completion of the Yamasaki-Kharazishvili measure), which is an infinite dimensional version of the classical method of constructing Lebesgue measure on $\R^n$ (see \cite{YA1}, \cite{KH} and \cite{KP2}). First we show that von Neumann's theory of infinite tensor product Hilbert spaces already implies that a natural version of Lebesgue measure must exist on $\R^{\iy}$. Using this insight, we define the canonical version of $L^2[\R^{\iy}, \la_{\iy}]$, which allows us to construct Lebesgue measure on $\R^{\iy}$ and analogues of Lebesgue and Gaussian measure for every separable Banach space with a Schauder basis. When $\mcH$ is a Hilbert space and $\la_{\mcH}$ is Lebesgue measure restricted to $\mcH$, we define sums and products of unbounded operators and the Gaussian density for $L^2[\mcH, \la_{\mcH}]$. We show that the Fourier transform induces two different versions of the Pontryagin duality theory. An interesting new result is that the character group changes on infinite dimensional spaces when the Fourier transform is treated as an operator. Since our construction provides a complete $\s$-finite measure space, the abstract version of Fubini's theorem allows us to extend Young's inequality to every separable Banach space with a Schauder basis. We also give constructive examples of partial differential operators in infinitely many variables and briefly discuss the famous partial differential equation derived by Phillip Duncan Thompson \cite{PDT}, on infinite-dimensional phase space to represent an ensemble of randomly forced two-dimensional viscous flows.

研究动机与目标

• 解决在 $\mathbb{R}^\infty$ 上构造有意义的勒贝格测度这一基础性问题，该问题长期以来被认为不可行，原因在于开集上缺乏有限测度。
• 在 $\mathbb{R}^\infty$ 上提供一个构造性、$σ$-有限的测度空间，支持傅里叶变换、微分算子等分析工具。
• 将经典分析工具——勒贝格测度、高斯测度、傅里叶变换以及杨不等式——扩展至具有 Schauder 基的可分 Banach 空间。
• 利用所构造的测度空间，定义并分析无穷多个变量中的无界算子与偏微分方程。
• 阐明庞特里亚金对偶性在无限维空间中的作用，表明在傅里叶变换下，特征群会发生变化。

提出的方法

• 利用冯·诺伊曼的无限张量积希尔伯特空间理论，推导出 $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 的规范版本，确保测度空间的明确定义。
• 通过完成 Yamasaki-Kharazishvili 测度，构造 Kirtadze-Pantsulaia 测度，从而在 $\mathbb{R}^\infty$ 上建立一个 $σ$-有限的博雷尔测度。
• 通过强算子收敛与闭扩张，定义 $L^2[\mathcal{H}, \lambda_\mathcal{H}]$ 上无界算子的和与积。
• 应用抽象富比尼定理，将杨不等式推广至所有具有 Schauder 基的可分 Banach 空间。
• 在 $L^1[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 与 $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 上引入傅里叶变换，揭示了在无限维空间中存在两种不同的庞特里亚金对偶形式。
• 构造了无穷多个变量中偏微分算子的显式例子，包括无限维拉普拉斯算子和 Ornstein-Uhlenbeck 型算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管标准博雷尔测度失效，是否仍能在 $\mathbb{R}^\infty$ 上构造一个规范的、$σ$-有限的勒贝格测度？
• RQ2 如何将傅里叶分析与庞特里亚金对偶性扩展至具有明确定义测度的无限维空间？
• RQ3 无界算子在无限维 $L^2$ 空间中的作用是什么？其和与积如何有意义地定义？
• RQ4 经典不等式如杨不等式能否推广至具有 Schauder 基的无限维 Banach 空间？
• RQ5 无穷多个变量中的偏微分算子行为如何？它们能否用于建模随机强迫流体流动等物理系统？

主要发现

• 通过希尔伯特空间的无限张量积结构，在 $\mathbb{R}^\infty$ 上存在一个规范的、$σ$-有限的勒贝格测度 $\lambda_\infty$。
• $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 上的傅里叶变换诱导出两种不同的庞特里亚金对偶形式，且在无限维空间中特征群会发生变化。
• 利用所构造测度空间上的抽象富比尼定理，将杨不等式推广至所有具有 Schauder 基的可分 Banach 空间。
• 无限维拉普拉斯算子 $\Delta_\infty = \sum_{i=1}^\infty \partial^2 / \partial x_i^2$ 作为 $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 上的闭、稠定算子，其定义是合理的。
• 在该框架下，随机强迫二维黏性流体流动的汤普森方程在数学上是一致的，其平衡密度 $\rho_0(\mathbf{x}) = C \exp(-\frac{1}{2}\nu \sum_k \alpha_k^2 x_k^2)$ 是明确定义的。
• 该构造为无界算子提供了自然的设定，当 $g_n \to g$ 在 $L^2$ 中收敛时，有 $\Delta_\infty g_n \to \Delta_\infty g$。