[论文解读] Constructive Canonicity of Inductive Inequalities

Willem Conradie, Alessandra Palmigiano|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Advanced Algebra and Logic被引用 8

一句话总结

本文在避免使用选择公理的元理论中，通过将ALBA算法重新解释为将名义变量和共名义变量视为格扩张的典范扩张中的闭合与开元素，建立了归纳不等式的构造性典范性。关键结果是：ALBA在归纳不等式上的成功意味着其构造性典范性，从而通过统一对应理论统一了基于框架的方法与代数方法。

ABSTRACT

We prove the canonicity of inductive inequalities in a constructive meta-theory, for classes of logics algebraically captured by varieties of normal and regular lattice expansions. This result encompasses Ghilardi-Meloni's and Suzuki's constructive canonicity results for Sahlqvist formulas and inequalities, and is based on an application of the tools of unified correspondence theory. Specifically, we provide an alternative interpretation of the language of the algorithm ALBA for lattice expansions: nominal and conominal variables are respectively interpreted as closed and open elements of canonical extensions of normal/regular lattice expansions, rather than as completely join-irreducible and meet-irreducible elements of perfect normal/regular lattice expansions. We show the correctness of ALBA with respect to this interpretation. From this fact, the constructive canonicity of the inequalities on which ALBA succeeds follows by an adaptation of the standard argument. The claimed result then follows as a consequence of the success of ALBA on inductive inequalities.

研究动机与目标

• 在避免使用选择公理的元理论中，建立归纳不等式的构造性典范性。
• 将Ghilardi-Meloni的构造性典范扩张框架扩展至超出Sahlqvist公式的归纳不等式。
• 通过统一对应理论，统一基于框架的典范性-对应关系与代数构造性典范性。
• 通过将名义/共名义变量解释为典范扩张中的闭合/开元素，而非完全析取或合取不可约元素，重新解释格扩张的ALBA算法。
• 通过此重新解释，证明ALBA在归纳不等式上的成功意味着其构造性典范性。

提出的方法

• 通过将名义变量和共名义变量分配给典范扩张中的闭合与开元素，而非完全析取或合取不可约元素，重新解释格扩张的ALBA算法。
• 将ALBA标准正确性论证适配到此新解释，证明在构造性设定下ALBA正确计算一阶对应。
• 使用通过一般滤子和理想定义的正规与正则格扩张的构造性典范扩张，确保稠密性与紧致性，而无需依赖选择公理。
• 利用统一对应理论，弥合基于框架的方法与代数方法之间的鸿沟，实现对应与典范性的一致处理。
• 证明归纳不等式的有效性从原始代数到其典范扩张通过闭合与开元素得以保持，从而证明构造性典范性。
• 通过与完全格的对偶性与伴随关系，将结果应用于模态逻辑与非分配逻辑，包括可能性语义学与展示演算。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用选择公理的元理论中建立归纳不等式的构造性典范性？
• RQ2 ALBA算法应如何重新解释，以适用于格扩张典范扩张中的闭合与开元素？
• RQ3 统一对应框架在多大程度上统一了构造性设定下的基于框架的对应关系与代数典范性？
• RQ4 在名义/共名义变量的新解释下，ALBA在归纳不等式上的成功是否意味着其构造性典范性？
• RQ5 归纳不等式的构造性典范性能否应用于非分配逻辑的可能性语义学与展示演算？

主要发现

• 本文在避免使用选择公理的元理论中，建立了归纳不等式的构造性典范性，将Ghilardi-Meloni的结果推广至Sahlqvist公式之外。
• ALBA算法被正确地重新解释为将名义与共名义变量视为典范扩张中的闭合与开元素，保持其在构造性设定下的正确性。
• 归纳不等式的有效性从原始代数到其典范扩张通过闭合与开元素得以保持，从而证明了构造性典范性。
• 该结果通过统一对应理论，统一了Sambin-Vaccaro的基于对应关系的典范性与Ghilardi-Meloni的代数构造性典范性。
• 归纳不等式的构造性典范性意味着在可能性语义学中通过与构造性典范扩张的对偶性，可推出滤子典范性。
• 研究结果支持通过统一对应技术开发具有统一 proof-theoretic 性质（包括切割消去与保守性）的分析性sequent演算。