[论文解读] Constructive Coordinatization of Desarguesian Planes

Mark Mandelkern|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2024

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 16被引用 5

一句话总结

本论文以 Bishop 观念下的构造方式发展 Desarguesian 平面坐标化，强化公理并使用单一原始概念来推导分域坐标化。

ABSTRACT

A classical theory of Desarguesian geometry, originating with D. Hilbert in his 1899 treatise, Grundlagen der Geometrie, leads from axioms to the construction of a division ring from which coordinates may be assigned to points, and equations to lines; this theory is highly nonconstructive. The present paper develops this coordinatization theory constructively, in accordance with the principles introduced by Errett Bishop in his 1967 book, Foundations of Constructive Analysis. The traditional geometric axioms are adopted, together with two supplementary axioms which are constructively stronger versions of portions of the usual axioms. Stronger definitions, with enhanced constructive meaning, are also selected; these are based on a single primitive notion, and are classically equivalent to the traditional definitions. Brouwerian counterexamples are included; these point out specific nonconstructivities in the classical theory, and the consequent need for strengthened definitions and results in a constructive theory. All the major results of the classical theory are established, in their original form, revealing their hidden constructive content.

研究动机与目标

• 用构造方法重建 Desarguesian 平面的经典坐标化。
• 采用 Bishop 的构造框架以及一个独一无二的点的原始概念。
• 加强定义并提供有限性过程，取代经典理论中的非构造性部分。
• 对构造性地展示 Desargues 定理与对称公理的关系，以及 Pappus 定理与所得到的分环的交换性之间的关系。

提出的方法

• 用一个唯一定义的点的原始概念和一个构造性的主关系“点在直线之外”来定义几何。
• 采用三组公理 G、L、K，其中 L 提供对非平行直线的构造性处理。
• 加强平行性、膨胀变换和平移的概念，以获得构造性映射与扩展。
• 证明 Desargues 定理当等价于对称公理，Pappus 定理当等价于坐标化分环的交换性。
• 从平移群的同态构造坐标化，并建立非零同态的单射性。
• 证明实平面 R^2 作为满足公理的构造模型，并讨论促使公理加强的 Brouwer 异例。

实验结果

研究问题

• RQ1 在保持经典结果的同时，如何以构造性的方式实现 Desarguesian 平面的坐标化？
• RQ2 哪一个构造公理体系足以从平移和膨胀变换推导出分域坐标化？
• RQ3 Desargues 定理、对称公理与 Pappus 定理之间的构造关系是什么？
• RQ4 像实平面 R^2 这样的标准模型是否能满足加强后的构造公理，且有哪些 Brouwerian 对反例？
• RQ5 在这一定义的几何框架下，Heyting 风格的方法与 Bishop 风格的构造框架相比如何？

主要发现

• Desarguesian 几何的主要经典结果在保持其原始形式的同时，具备增强的构造含义。
• 一个构造框架以对非平行直线的强烈概念以及点在直线之外的主关系为中心。
• Desargues 定理被证明当等价于对称公理，Pappus 定理当等价于所得分环的交换性。
• 膨胀变换及其扩展和逆变换被构造性地发展，能够通过平移群同态实现坐标化。
• 实平面 R^2 在构造公理下被证明是 Desarguesian 平面，并给出 Brouwerian 对反例以说明经典理论中的非构造性。