[论文解读] Contact geometry of multidimensional Monge-Ampère equations: characteristics, intermediate integrals and solutions

Dmitri V. Alekseevsky, Ricardo J. Alonso-Blanco+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2010

Geometry and complex manifolds被引用 4

一句话总结

本文为多维Monge-Ampère方程（MAEs）构建了一个接触几何框架，通过接触分布的子分布表征其特征和中间积分。它建立了Goursat型MAEs的局部接触等价准则，并提出了一种广义Monge方法，通过中间积分利用哈密顿流传播求解柯西问题，从而得到显式解。

ABSTRACT

We study the geometry of multidimensional scalar $2^{nd}$ order PDEs (i.e. PDEs with $n$ independent variables) with one unknown function, viewed as hypersurfaces $\mathcal{E}$ in the Lagrangian Grassmann bundle $M^{(1)}$ over a $(2n+1)$-dimensional contact manifold $(M,\mathcal{C})$. We develop the theory of characteristics of the equation $\mathcal{E}$ in terms of contact geometry and of the geometry of Lagrangian Grassmannian and study their relationship with intermediate integrals of $\mathcal{E}$. After specifying the results to general Monge-Ampère equations (MAEs), we focus our attention to MAEs of type introduced by Goursat, i.e. MAEs of the form $$ \det|\frac{\partial^2 f}{\partial x^i\partial x^j}-b_{ij}(x,f, abla f)\|=0. $$ We show that any MAE of the aforementioned class is associated with an $n$-dimensional subdistribution $\mathcal{D}$ of the contact distribution $\mathcal{C}$, and viceversa. We characterize this Goursat-type equations together with its intermediate integrals in terms of their characteristics and give a criterion of local contact equivalence. Finally, we develop a method of solutions of a Cauchy problem, provided the existence of a suitable number of intermediate integrals.

研究动机与目标

• 通过分析其特征和中间积分，为多维二阶偏微分方程（PDEs），特别是Monge-Ampère方程，建立接触几何理论。
• 通过与接触分布相关的n维子分布表征Goursat型MAEs。
• 基于其几何不变量，建立此类MAEs的局部接触等价准则。
• 通过利用中间积分和哈密顿流，推广经典Monge方法以求解MAEs的柯西问题。
• 当存在足够多的中间积分时，提供一种构造性方法求解柯西问题，确保解的局部唯一性。

提出的方法

• 作者将二阶PDE建模为(2n+1)维接触流形上拉格朗日子流形丛中的超曲面，利用接触几何分析其结构。
• 他们利用拉格朗日子流形的几何定义PDE的特征锥和共形度量，并将其与中间积分关联。
• 对于Goursat型MAEs，他们将每个方程与接触分布C的一个n维子分布D相关联，反之亦然，建立了对偶性。
• 通过构造中间积分φ(x^i, p_i)和φ(overline{x}^i, overline{p}_i)，实现广义Monge方法，这些中间积分用于定义哈密顿向量场，其积分曲线用于传播柯西数据。
• 通过积分与中间积分相关的哈密顿向量场，利用首次积分消去变量并重构解曲面，从而构造解。
• 通过利用首次积分之间的关系消去坐标，推导出显式解公式，如在二维例子中，z = x^1 e^{x^2} + e^{x^1 + overline{x}^1} - x^1 overline{x}^2所示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用接触几何和拉格朗日子流形描述多维Monge-Ampère方程的特征？
• RQ2 中间积分与二阶PDE的特征结构之间存在何种几何关系？
• RQ3 如何通过接触分布的子分布表征Goursat型Monge-Ampère方程？
• RQ4 何种准则可确保两个此类MAEs之间的局部接触等价？
• RQ5 在何种条件下，广义Monge方法可求解多维MAE的柯西问题？

主要发现

• 任何Goursat型Monge-Ampère方程在局部接触等价于与接触分布C的一个n维子分布D相关的标准形式。
• 此类MAEs的中间积分是φ(x^1,…,x^k,p_1,…,p_k)和φ(overline{x}^1,…,overline{x}^k,overline{p}_1,…,overline{p}_k)的形式，其中k = n/2。
• 当存在足够多的中间积分时，广义Monge方法成功构造出柯西问题的唯一局部解，如通过哈密顿向量场的显式积分所证实。
• 方程det(∂²z/∂overline{x}^i ∂x^j) = 0的解为z = x^1 e^{x^2} + e^{x^1 + overline{x}^1} - x^1 overline{x}^2，该解通过中间积分的哈密顿流传播得到。
• 该方法依赖于识别哈密顿向量场八个首次积分之间的五个独立关系，这些关系用于消去变量并重构解曲面。
• 中间积分的存在确保了PDE的形式可积性，并使得非特征柯西数据可唯一延拓为局部解。