[论文解读] Contact geometry of one dimensional holomorphic foliations

Giuseppe Tomassini, Sergio Venturini|ArXiv.org|Jul 29, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了在复流形 $M$ 中，定义实超曲面 $V$ 的复 Monge-Ampère 方程 $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$ 存在 $C^k$ 解 $u$ 的充要条件，其中 $u$ 作为 $V$ 的定义方程，且由该解诱导的 Monge-Ampère 沿着 $V$ 的叶状结构与 Reeb 叶状结构一致。关键结果为：此类解存在当且仅当 Reeb 向量场 $\xi_0$ 的积分曲线为实解析曲线，该结论通过求解 CR 分布的无穷小对称性的柯西问题而获得。

ABSTRACT

Let V be a real hypersurface of class C^k, k>=3, in a complex manifold M of complex dimension n+1, HT(V) the holomorphic tangent bundle to V giving the induced CR structure on V. Let θbe a contact form for (V,HT(V)), ξ_0 the Reeb vector field determined by θand assume that ξ_0 is of class C^k. In this paper we prove the following theorem (cf. Theorem 4.1): if the integral curves of ξ_0 are real analytic then there exist an open neighbourhood N\subset M of V and a solution u\in C^k(N) of the complex Monge-Ampère equation (dd^c u)^(n+1)=0 on N which is a defining equation for V. Moreover, the Monge-Ampère foliation associated to u induces on V that one associated to the Reeb vector field. The converse is also true. The result is obtained solving a Cauchy problem for infinitesimal symmetries of CR distributions of codimension one which is of independent interest (cf. Theorem 3.1).

研究动机与目标

• 确定复流形 $M$ 中实超曲面 $V$ 在何种条件下存在 $C^k$ 定义函数 $u$，使得 $u$ 满足复 Monge-Ampère 方程 $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$。
• 建立 Reeb 向量场积分曲线的解析性与此类解 $u$ 存在性之间的对应关系。
• 证明由 $u$ 诱导的 Monge-Ampère 叶状结构在 $V$ 上与 Reeb 向量场 $\xi_0$ 生成的叶状结构一致。
• 发展并应用 codimension 一 的 CR 分布的无穷小对称性的柯西问题，该问题本身具有独立兴趣。

提出的方法

• 作者定义了一个校准叶状结构 $(\xi, u)$，其中 $\xi$ 是满足 $[\xi, J\xi] = 0$，${{\rm d}^{c}}u(\xi) = 0$，且 ${\rm d}u(\xi) = 1$ 的向量场，从而保证 $\xi$ 生成由黎曼曲面构成的全纯叶状结构。
• 他们利用广义解析函数理论，证明集合 $Z$（即 $\xi$ 是 ${{\rm Ker}}\,{\rm d}u \cap {{\rm Ker}}\,{{\rm d}^{c}}u$ 的无穷小对称点）在每个叶上交集为离散集或全集。
• 求解 codimension 一 的 CR 分布的无穷小对称性的柯西问题，证明若 $\xi_0$ 的积分曲线为实解析曲线，则在 $V$ 附近存在唯一的校准叶状结构 $(\xi, u)$，满足 $u|_V = 0$ 且 $\xi|_V = \xi_0$。
• 通过涉及 Levi 形式与 $\xi \mathop{\hbox{\vrule height=7.0pt,width=0.5pt,depth=0.0pt\vrule height=0.5pt,width=6.0pt,depth=0.0pt}}{\rm d}{{\rm d}^{c}}u$ 消去的行列式恒等式，证明解 $u$ 满足 $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$。
• 反之，通过证明若 $u$ 是 Monge-Ampère 方程的 $C^k$ 解，则其对应的向量场 $\xi = \xi_u$ 满足 $[\xi, J\xi] = 0$，且由引理 3.1 知其积分曲线为实解析曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复流形 $M$ 中，实超曲面 $V$ 在何种条件下存在 $C^k$ 定义函数 $u$，使得 $u$ 满足复 Monge-Ampère 方程 $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$？
• RQ2 由 $u$ 诱导的 Monge-Ampère 叶状结构在何种条件下与 $V$ 上由 Reeb 向量场 $\xi_0$ 生成的叶状结构一致？
• RQ3 Reeb 向量场 $\xi_0$ 的积分曲线的解析性在解 $u$ 存在性中起何种作用？
• RQ4 如何求解 CR 分布的无穷小对称性的柯西问题以构造 $u$？

主要发现

• 在 $V$ 的邻域 $M_0$ 内，复 Monge-Ampère 方程 $({\rm d}{{\rm d}^{c}}u)^{n+1} = 0$ 存在 $C^k$ 解 $u$ 当且仅当 Reeb 向量场 $\xi_0$ 的积分曲线为实解析曲线。
• 解 $u$ 是 $V$ 的定义函数，满足 $u|_V = 0$ 且在 $V$ 附近 ${\rm d}u \neq 0$，且满足 ${{\rm d}^{c}}u|_{T(V)} = \theta$，其中 $\theta$ 是 $V$ 上的接触形式。
• 与 $u$ 关联的 Monge-Ampère 叶状结构在 $V$ 上诱导的叶状结构与 Reeb 向量场 $\xi_0$ 生成的叶状结构相同。
• 反之亦然：若存在 $C^k$ 解 $u$，则其对应的向量场 $\xi_u$ 的积分曲线为实解析曲线，从而推出 $\xi_u|_V = \xi_0$。
• 证明依赖于求解 codimension 一 的 CR 分布的无穷小对称性的柯西问题，该问题本身被证明具有独立兴趣。