[论文解读] Contact homology of left-handed stabilizations and plumbing of open books

Frédéric Bourgeois, Otto van Koert|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 22

一句话总结

该论文通过在高维（大于1）闭接触流形上使用带有左手德恩扭转的开书分解，构造了接触同调为零的接触结构。关键机制在于识别出一个闭的黎奇轨道，该轨道仅界定了一个有限能量的全纯平面，从而使接触同调代数中的单位元为恰当元，进而迫使接触同调为零。该构造可通过开书的管状连接（plumbing）推广至连通和情形，支持了一个猜想：在所有维度中，左手稳定化均导致接触同调为零。

ABSTRACT

We show that on any closed contact manifold of dimension greater than 1 a contact structure with vanishing contact homology can be constructed. The basic idea for the construction comes from Giroux. We use a special open book decomposition for spheres. The page is the cotangent bundle of a sphere and the monodromy is given by a left-handed Dehn twist. In the resulting contact manifold we exhibit a closed Reeb orbit that bounds a single finite energy plane. As a result, the unit element of the contact homology algebra is exact and so the contact homology vanishes. This result can be extended to other contact manifolds by using connected sums. The latter is related to the plumbing- or 2-Murasugi sum of the contact open books. We shall give a possible description of this construction and some conjectures about the plumbing operation.

研究动机与目标

• 证明通过开书分解中的左手德恩扭转构造的某些接触结构，其接触同调为零。
• 通过开书的管状连接（2-Murasugi和）将该结果推广至接触流形的连通和情形。
• 为一个猜想提供证据：在所有维度 ≥3 中，接触开书的左手稳定化均导致接触同调为零。
• 探讨开书的管状连接与接触连通和之间的关系，特别是在高维情形下的表现。
• 支持一种观点：接触同调为零是高维接触拓扑中类似越轨结构的区分性特征。

提出的方法

• 为球面 $S^{2n-1}$ 构造一个开书，其页为 $T^*S^{n-1}$，单个左手德恩-塞伊德尔扭转作为单值变换。
• 在所得接触流形中识别出一个闭的黎奇轨道，该轨道界定了唯一的有限能量全息平面。
• 利用该全息平面的唯一性，证明接触同调代数中的单位元为恰当元，从而推出整个同调群为零。
• 应用管状连接构造（2-Murasugi和），通过在拉格朗日子流形（边界为传奇子流形）上粘合两个开书的页，将两个接触开书组合起来。
• 利用韦伊斯坦邻域定理在管状连接邻域上定义坐标，并将新单值变换定义为复合映射 $\tilde{\psi}_2 \circ \tilde{\psi}_1$。
• 推测所得开书支持接触连通和，将已知的三维结果推广至高维。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高维开书中，通过左手德恩扭转构造的接触结构，其接触同调是否可能为零？
• RQ2 开书的管状连接（2-Murasugi和）是否在高维中产生一个与原始接触流形连通和微分同胚的接触结构？
• RQ3 当一个黎奇轨道仅界定了一个有限能量全息平面时，接触同调代数中的单位元是否为恰当元？
• RQ4 能否在维度大于3的情形下，证明接触开书的左手稳定化具有接触同调为零的性质？
• RQ5 通过拉格朗日子流形粘合页并复合单值变换的操作，是否保持接触相容性并支持连通和结构？

主要发现

• 对于由页为 $T^*S^{n-1}$ 且单值变换为单个左手德恩扭转的开书所构造的 $S^{2n-1}$ 上的接触结构，其接触同调为零。
• 该现象发生的原因是：一个闭的黎奇轨道仅界定了一个有限能量全息平面，从而使接触同调代数中的单位元为恰当元。
• 该构造可通过开书的管状连接推广至连通和情形，且接触同调仍保持为零。
• 推测该管状连接操作将产生一个支持接触连通和的接触开书，从而将已知的三维结果（由Torisu提出）推广至高维。
• 该结果支持一个猜想：在所有维度 ≥3 中，接触开书的左手稳定化均导致接触同调为零，尤其在拉格朗日子流形与边界平行时更为显著。