[论文解读] Contact processes with random vertex weights on oriented lattices

Xiaofeng Xue|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用 14

一句话总结

该论文研究了在定向格点 $\mathbb{Z}^d$ 上具有独立同分布随机顶点权重的接触过程，其中顶点之间的感染率取决于其权重的乘积。研究证明了临界感染率 $\lambda_c(d)$ 满足 $\lim_{d\to\infty} d\lambda_c(d) = 1/\mathbb{E}[\rho^2]$，表明当维度增大时，临界感染率与顶点权重的二阶矩呈渐近反比关系。

ABSTRACT

In this paper we are concerned with contact processes with random vertex weights on oriented lattices. In our model, we assume that each vertex x of Z^d takes i. i. d. positive random value ρ(x). Vertex y infects vertex x at rate proportional to ρ(x)ρ(y) when and only when there is an oriented edge from y to x. We give the definition of the critical value λ_c of infection rate under the annealed measure and show that λ_c=[1+o(1)]/(dEρ^2) as d grows to infinity. Classic contact processes on oriented lattices and contact processes on clusters of oriented site percolation are two special cases of our model.

研究动机与目标

• 分析在定向 $\mathbb{Z}^d$ 上具有随机顶点权重的接触过程的临界感染率 $\lambda_c(d)$。
• 理解顶点权重分布如何影响定向格点上流行病的存活阈值。
• 在平衡平均下，建立 $\lambda_c(d)$ 随维度 $d \to \infty$ 的渐近行为。
• 将经典接触过程和定向位点渗流簇上的接触过程统一为所提模型的特例。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}^d$ 上定义一个自旋系统，其翻转速率依赖于独立同分布的顶点权重 $\rho(x)$ 和定向边。
• 建模感染传播过程：当通过定向边 $y \to x$ 时，顶点 $x$ 以速率 $\lambda \rho(x)\rho(y)$ 感染 $y$。
• 使用平衡测度 $P_{\lambda,d} = \mathbb{E}[P_\lambda^\omega]$ 对随机权重进行平均，并将 $\lambda_c(d)$ 定义为存活阈值。
• 应用分支过程近似和矩生成函数界来控制感染数的期望。
• 使用按代数和权重类别索引的多类型分支过程来建模传播动力学。
• 通过递归矩估计和几何级数收敛性，建立一致可积性和指数矩界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在随机顶点权重的情况下，临界感染率 $\lambda_c(d)$ 在维度 $d \to \infty$ 时的渐近行为如何？
• RQ2 顶点权重的二阶矩 $\mathbb{E}[\rho^2]$ 在高维定向格点中在多大程度上决定了流行病阈值？
• RQ3 该模型能否恢复已知结果，例如经典接触过程和渗流簇上的接触过程？
• RQ4 平衡测度在刻画感染过程存活概率方面起什么作用？
• RQ5 矩界和分支过程近似如何帮助证明渐近临界值？

主要发现

• 临界感染率满足 $\lambda_c(d) \sim \frac{1}{d\mathbb{E}[\rho^2]}$，当 $d \to \infty$ 时，有 $\lim_{d\to\infty} d\lambda_c(d) = \frac{1}{\mathbb{E}[\rho^2]}$。
• 该结果推广了彼得森在完全图上的结果，其中 $\lambda_c = 1/\mathbb{E}[\rho^2]$，将其扩展至高维格点。
• 该模型包含了 $\mathbb{Z}^d$ 上的经典接触过程以及定向位点渗流簇上的接触过程作为特例。
• 证明依赖于使用受控矩的多类型分支过程来控制感染数的期望。
• 对于 $\lambda = \gamma / (d\mathbb{E}[\rho^2})$ 且 $\gamma > 1$ 的情况，当 $d$ 足够大时，感染数的期望在 $d$ 上有统一有界，意味着 $\lambda_c(d) \leq \gamma / (d\mathbb{E}[\rho^2})$。
• 通过令 $\gamma \downarrow 1$，$d\lambda_c(d)$ 的上下界一致，从而确认了精确的渐近极限。