[论文解读] Contact Representations of Sparse Planar Graphs

Md. Jawaherul Alam, David Eppstein+5 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Structural Analysis and Optimization参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文研究了使用圆弧（CCA-表示）对稀疏平面图进行接触表示，其中顶点由不重叠的圆弧表示，边由内部点接触表示。证明了所有平面(2,2)-稀疏图以及某些(2,1)-紧致、(2,0)-紧致图及其(2,3)-和(2,4)-紧致图的对偶图均具有CCA-表示，但并非所有(2,0)-紧致多重图都具有该表示。此外，本文表明每个平面(2,0)-稀疏图都具有基于楔形的接触表示，并在度数约束下证明了直角楔形表示的NP-完全性。

ABSTRACT

We study representations of graphs by contacts of circular arcs, CCA-representations for short, where the vertices are interior-disjoint circular arcs in the plane and each edge is realized by an endpoint of one arc touching the interior of another. A graph is (2,k)-sparse if every s-vertex subgraph has at most 2s - k edges, and (2, k)-tight if in addition it has exactly 2n - k edges, where n is the number of vertices. Every graph with a CCA- representation is planar and (2, 0)-sparse, and it follows from known results on contacts of line segments that for k >= 3 every (2, k)-sparse graph has a CCA-representation. Hence the question of CCA-representability is open for (2, k)-sparse graphs with 0 <= k <= 2. We partially answer this question by computing CCA-representations for several subclasses of planar (2,0)-sparse graphs. In particular, we show that every plane (2, 2)-sparse graph has a CCA-representation, and that any plane (2, 1)-tight graph or (2, 0)-tight graph dual to a (2, 3)-tight graph or (2, 4)-tight graph has a CCA-representation. Next, we study CCA-representations in which each arc has an empty convex hull. We characterize the plane graphs that have such a representation, based on the existence of a special orientation of the graph edges. Using this characterization, we show that every plane graph of maximum degree 4 has such a representation, but that finding such a representation for a plane (2, 0)-tight graph with maximum degree 5 is an NP-complete problem. Finally, we describe a simple algorithm for representing plane (2, 0)-sparse graphs with wedges, where each vertex is represented with a sequence of two circular arcs (straight-line segments).

研究动机与目标

• 确定哪些稀疏平面图类可以使用非重叠圆弧进行接触表示（CCA-表示）。
• 解决关于每个(2,0)-稀疏平面图是否具有CCA-表示的开放问题，特别是当允许改变图的嵌入时。
• 研究使用楔形（带一个折点的多段线）进行接触表示的存在性，特别是具有直角等几何约束的情况。
• 表征平面图具有弧的凸包为空的CCA-表示的条件。
• 研究具有特定几何属性（如直角楔形）的CCA-表示构造的计算复杂度。

提出的方法

• 使用图论中的稀疏性条件：(p,k)-稀疏和(p,k)-紧致图，重点研究k ∈ {0,1,2,3,4}时的(2,k)-稀疏性。
• 应用关于(2,k)-紧致图的增强和对偶性的结构引理，以识别可表示的子类。
• 通过直线图构造基于楔形的接触表示，利用(2,0)-稀疏图的2−-定向。
• 引入基于边定向的表征，以确定何时存在弧的凸包为空的CCA-表示。
• 将直角楔形表示问题简化为几何可行性问题，证明最大度为5的图的NP-完全性。
• 使用伪三角形和角度和的几何论证，证明某些(2,0)-紧致图（如八面体图）无法实现直角楔形表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有(2,0)-稀疏平面图是否都具有CCA-表示，即使嵌入不固定？
• RQ2 哪些(2,0)-稀疏平面图的子类能保证具有CCA-表示，其结构特性是什么？
• RQ3 每个平面(2,0)-稀疏图是否都能使用楔形（带一个折点的多段线）表示，以及哪些约束会影响此类表示？
• RQ4 确定一个最大度为5的(2,0)-紧致平面图是否具有直角楔形CCA-表示的计算复杂度是多少？
• RQ5 在何种条件下，存在每个弧的凸包都为空的CCA-表示？

主要发现

• 每个平面(2,2)-稀疏图都具有CCA-表示。
• 任何(2,1)-紧致或(2,0)-紧致的平面图，若其对偶图是(2,3)-或(2,4)-紧致图，也具有CCA-表示。
• 存在一个最大度为5的(2,0)-紧致平面多重图，其不具有CCA-表示，表明并非所有(2,0)-紧致图都可实现CCA-表示。
• 每个平面(2,0)-稀疏图都具有基于楔形的接触表示，其中每个顶点由两段组成的多段线表示。
• 对于最大度为5的(2,0)-紧致图，寻找具有直角楔形的CCA-表示是NP-完全的。
• 八面体图（一个具有三角形面的(2,0)-紧致图）由于外边界角度的几何约束，无法实现具有直角楔形的接触表示。