[论文解读] Contact structures, sutured Floer homology and TQFT

Ko Honda, William Kazez+1 more|ArXiv.org|Jul 15, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用 62

一句话总结

本文在余维数为1的接触结构补集上建立了sutured Floer同调的自然粘合映射，通过维度约化构造了(1+1)维拓扑量子场论(TQFT)，关键结果为一个定义良好、符号模糊的映射，保持接触不变量，并应用于分类非隔离构型及证明在特定拓扑条件下不变量的消失。

ABSTRACT

We describe the natural gluing map on sutured Floer homology which is induced by the inclusion of one sutured manifold (M',Γ') into a larger sutured manifold (M,Γ), together with a contact structure on M-M'. As an application of this gluing map, we produce a (1+1)-dimensional TQFT by dimensional reduction and study its properties.

研究动机与目标

• 定义由sutured子流形补集上接触结构诱导的sutured Floer同调上的自然粘合映射。
• 通过sutured Floer同调的维度约化构造(1+1)维拓扑量子场论(TQFT)。
• 表征sutured Floer同调中接触不变量在存在孤立区域时的消失条件。
• 确定在ℤ/2ℤ系数下接触不变量非零的条件。
• 研究在孤立环状或环面区域存在时，接触不变量在bypass附加和TQFT运算下的行为。

提出的方法

• 定义由M−int(M′)上接触结构ξ诱导的粘合映射Φξ: SFH(−M′,−Γ′) → SFH(−M,−Γ) ⊗ V⊗m，其中m为孤立分量的数量。
• 使用与接触结构相容的凸Morse函数和开书分解，遵循Giroux理论，以确保与粘合过程的兼容性。
• 应用sutured Floer同调的TQFT性质，通过bypass附加分解不变量，利用此类操作下接触不变量的可加性。
• 在ℤ和ℤ/2ℤ系数下工作，后者消除了接触不变量中的符号模糊性。
• 通过维度约化从sutured Floer同调框架构造(1+1)维TQFT。
• 使用剪切-拼接技术分析接触不变量在bypass移动和孤立区域构型（特别是环状和单穿孔环面）下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ℤ/2ℤ系数下，sutured Floer同调中的接触不变量在何种条件下消失？
• RQ2 粘合映射Φξ如何在包含具有相容接触结构的sutured子流形时保持接触不变量？
• RQ3 通过sutured Floer同调的维度约化得到的TQFT具有何种结构？
• RQ4 在存在孤立区域时，bypass附加如何影响接触不变量？
• RQ5 何种拓扑条件可保证接触不变量非零，特别是与非隔离构型的关系？

主要发现

• 粘合映射Φξ: SFH(−M′,−Γ′) → SFH(−M,−Γ) ⊗ V⊗m 在全局±符号意义下定义良好，并在包含过程中保持接触不变量。
• 对于M′上的任意接触结构ξ′，EH(M′,Γ′,ξ′)在Φξ下的像是EH(M,Γ,ξ′∪ξ) ⊗ (x⊗⋯⊗x)，其中x为S¹×S²上标准紧致接触结构的接触类。
• 在ℤ/2ℤ系数下，任何包含孤立区域（包括环状或高亏格曲面）的构型K，其接触不变量均消失。
• 接触不变量仅在非隔离构型下非零，且在ℤ系数下，猜想其非零当且仅当其为本原的且构型为非隔离的。
• 在单穿孔环面带有∂-平行弧和边界平行曲线的情形下，bypass附加构型的不变量相等，表明在ℤ/2ℤ下发生抵消。
• TQFT结构使得能够根据分隔集的拓扑不变量对接触不变量进行完整分类，特别是在bypass移动和孤立区域分析下。