[论文解读] Contact Structures with Distinct Heegaard Floer Invariants

Olga Plamenevskaya|ArXiv.org|Sep 19, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文证明，4-流形上的非同胚Stein结构即使诱导出同胚的平面场，其边界上的接触结构仍具有不同的Heegaard Floer不变量。通过Stein结构与$σ$-结构之间的对应关系，并利用Heegaard Floer同调的分次与滤子性质，作者证明了$\widehat{HF}(-Y)$中的接触不变量$c(\xi)$可区分由非同构$\mathrm{Spin}^c$结构诱导的接触结构。

ABSTRACT

We prove that the contact structures on Y= dX induced by non-homotopic Stein structures on the 4-manifold X have distinct Heegaard Floer invariants.

研究动机与目标

• 确定Heegaard Floer接触不变量能否区分4-流形上非同胚Stein结构诱导的接触结构。
• 研究4-流形上的$\mathrm{Spin}^c$结构与其边界上诱导接触结构不变量之间的关系。
• 通过证明Heegaard Floer不变量能检测非同构$\mathrm{Spin}^c$结构（即使接触结构同胚）来扩展Lisca与Matić的Seiberg-Witten结果。
• 确立$\widehat{HF}(-Y)$中的接触不变量$c(\xi)$对$\mathrm{Spin}^c$结构敏感，而不仅对接触平面场的同胚类敏感。

提出的方法

• 利用4-流形$X$上Stein结构与其相关$\mathrm{Spin}^c$结构$\mathfrak{s}_1, \mathfrak{s}_2$之间的对应关系。
• 将Heegaard Floer接触不变量$c(\xi) \in \widehat{HF}(-Y)$应用于由Stein结构诱导的接触结构$\xi_1, \xi_2$，其中$Y = \partial X$。
• 利用$\mathrm{Spin}^c$结构为扭的$\widehat{HF}(Y, \mathfrak{s})$的分次与滤子结构，特别是将分次变化与cobordism的特征类及亏格联系起来的公式(3)。
• 使用cobordism映射的复合律（命题1）与混合不变量$F^{\mathrm{mix}}$，在cobordisms之间关联不变量。
• 应用Honda对具有两条斜率为$-1$的平行分隔曲线的实心环面的紧致接触结构分类，通过归纳法构造并分类由管状连接Hopf带构成的体形上的接触结构。
• 通过将正Hopf带进行管状连接以确保绑定连通，构造边界$Y$的相容开书分解，从而可应用Ozsváth-Szabó的接触不变量定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 Heegaard Floer不变量能否区分由4-流形$X$上非同构$\mathrm{Spin}^c$结构诱导的$\partial X$上的接触结构？
• RQ2 当接触结构作为平面场同胚但由非同胚Stein结构诱导时，其Heegaard Floer不变量是否仍不同？
• RQ3 在由Stein结构诱导的cobordism下，$\widehat{HF}(-Y, \mathfrak{s})$中的分次行为如何？它能否用于区分不变量？
• RQ4 即使接触结构同胚，接触不变量$c(\xi)$是否仍对$\mathrm{Spin}^c$结构敏感？
• RQ5 能否利用由$ n $个正Hopf带（分隔集斜率为$-1$）构成的体形上紧致接触结构的唯一性，来证明其诱导的接触不变量的唯一性？

主要发现

• 当关联的$\mathrm{Spin}^c$结构$\mathfrak{s}_1$与$\mathfrak{s}_2$非同构时，Heegaard Floer接触不变量$c(\xi_1)$与$c(\xi_2)$在$\widehat{HF}(-Y)$中为不同元素。
• 即使诱导的接触结构$\xi_1$与$\xi_2$作为平面场同胚（因此诱导相同的$\mathrm{Spin}^c$结构$\mathfrak{s}$），若Stein结构非同胚，其不变量$c(\xi_1)$与$c(\xi_2)$仍可不同。
• $\widehat{HF}(-Y, \mathfrak{s})$中$c(\xi)$的分次在$\mathfrak{s}$为扭时被cobordism保持，且分次变化由公式(3)控制。
• 通过归纳法与Giroux准则，确立了由$n$个正Hopf带构成的体形上紧致接触结构的唯一性，从而确保接触不变量定义良好。
• 通过将正Hopf带进行管状连接以构造具有连通绑定的相容开书，使得Ozsváth-Szabó的接触不变量定义可应用于含$1$-手柄的Stein填充。
• 本结果通过证明Heegaard Floer不变量比仅依赖$\mathrm{Spin}^c$结构更精细，从而强化了Lisca与Matić的Seiberg-Witten定理。