[论文解读] Contact structures with singularities

Eva Miranda, Cédric Oms|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文引入了$b^m$-接触结构——一种与临界超曲面$Z$相切且由非光滑微分形式定义的奇异接触结构。文章建立了局部标准形，刻画了在$Z$上诱导的几何结构，并证明了任意凸超曲面均可实现为$b^{2k}$-接触结构的临界集，展示了在3维情形下对一类一般性曲面的存在性。

ABSTRACT

We study singular contact structures, which are tangent to a given smooth hypersurface $Z$ and satisfy certain transversality conditions. These singular contact structures are determined by the kernel of non-smooth differential forms, called $b^m$-contact forms having an associated critical hypersurface $Z$. We provide several constructions, prove local normal forms and study the induced structure on the critical hypersurface. In the last section of this paper we tackle the problem of existence of $b^m$-contact structures on a given manifold. We prove that convex hypersurfaces can be realized as critical set of $b^{2k}$-contact structures. In particular, in the $3$-dimensional case, this construction yields the existence of a generic set of surfaces $Z$ such that the pair $(M,Z)$ is a $b^{2k}$-contact manifold and $Z$ is its critical hypersurface.

研究动机与目标

• 研究与光滑超曲面$Z$相切且满足横截性条件的奇异接触结构。
• 定义并分析$b^m$-接触形式，即具有临界超曲面$Z$的非光滑微分形式。
• 在$Z$附近建立$b^m$-接触结构的局部标准形。
• 研究由$b^m$-接触结构在临界超曲面$Z$上诱导的几何结构。
• 解决在给定流形上$b^{2k}$-接触结构的存在性问题，特别是针对凸超曲面。

提出的方法

• 将$b^m$-接触形式定义为核定义了一个与临界超曲面$Z$相切的奇异接触结构的非光滑微分形式。
• 利用横截性条件确保接触结构在$Z$附近表现良好。
• 通过坐标变换和爆破技巧，在$Z$的邻域内推导出$b^m$-接触结构的局部标准形。
• 通过将$b^m$-接触结构限制到超曲面，分析其在$Z$上诱导的几何结构。
• 在临界集为凸超曲面的流形上构造$b^{2k}$-接触结构。
• 将这些构造应用于证明在3维情形下对一类一般性曲面$Z$的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用非光滑微分形式在具有临界超曲面$Z$的流形上定义奇异接触结构？
• RQ2 $b^m$-接触结构在临界超曲面$Z$附近具有何种局部标准形？
• RQ3 由$b^m$-接触结构在临界超曲面$Z$上诱导的几何结构是什么？
• RQ4 哪些超曲面可作为给定流形上$b^{2k}$-接触结构的临界集？
• RQ5 在3维流形上，给定临界超曲面$Z$时，$b^{2k}$-接触结构在何种条件下存在？

主要发现

• 本文在临界超曲面$Z$附近建立了$b^m$-接触结构的局部标准形，提供了邻域内的规范模型。
• 证明了在临界超曲面$Z$上诱导的结构具有由$b^m$-接触形式导出的明确几何结构。
• 任意凸超曲面$Z$均可实现为在适当流形上$b^{2k}$-接触结构的临界集。
• 在3维情形下，一类一般性曲面$Z$可配备以$Z$为临界超曲面的$b^{2k}$-接触结构。
• 证明了在一大类流形上$b^{2k}$-接触结构的存在性，包括临界集为凸超曲面的情形。