[论文解读] Contact systems and corank one involutive subdistributions

William Pasillas-Lépine, Witold Respondek|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2000

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 24被引用 30

一句话总结

本文为分布与喷射空间 $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上的典型接触系统局部等价提供了几何的、可检验的条件，聚焦于曲线情形（k=1）。它引入了一种奇异点的规范形——称为扩展的 Kumpera-Ruiz 规范形——该规范形推广了 Goursat 规范形，并基于 Engel 秩与对合子分布的条件，建立了判断此类等价性的准则。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient geometric conditions for a distribution (or a Pfaffian system) to be locally equivalent to the canonical contact system on Jn(R,Rm), the space of n-jets of maps from R into Rm. We study the geometry of that class of systems, in particular, the existence of corank one involutive subdistributions. We also distinguish regular points, at which the system is equivalent to the canonical contact system, and singular points, at which we propose a new normal form that generalizes the canonical contact system on Jn(R,Rm) in a way analogous to that how Kumpera-Ruiz normal form generalizes the canonical contact system on Jn(R,R), which is also called Goursat normal form.

研究动机与目标

• 为分布与 $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上的典型接触系统实现局部等价提供必要且充分的几何条件，尤其针对曲线情形（k=1）。
• 将接触系统的理论扩展至标准正则性假设失效的奇异点。
• 将 Kumpera-Ruiz 规范形推广至奇异情形中，以容纳余维一的对合子分布。
• 提供一种基于 Engel 秩与对合子分布存在性的、可检验的几何准则，用于识别接触系统。
• 通过利用 Bryant 对特征分布的刻画，解决长期存在的验证与典型接触系统局部等价性的问题。

提出的方法

• 使用喷射空间 $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上的典型接触系统，其由 Pfaff 系统 $dp_i^\sigma - \sum_{j=1}^k p_i^{\sigma+1_j} dq^j = 0$ 定义，其中 $|\sigma| \leq n-1$。
• 应用 Engel 秩的概念来刻画分布的局部结构，并判断其是否为正则或奇异。
• 利用 Bryant 的结果，检验是否存在唯一的余维一的对合子分布 $\mathcal{B} \subset \mathcal{D}$，满足 $[\mathcal{B}, \mathcal{B}] \subset \mathcal{D}$。
• 提出一种新的规范形——扩展的 Kumpera-Ruiz 规范形——用于奇异接触系统，通过喷射空间几何推广 Goursat 规范形。
• 使用典范正交 $\mathcal{D}^\perp = (\omega_1, \dots, \omega_{s_0})$，并定义 $\mathcal{W}(\omega_i) = \{ f \in \mathcal{D} \mid f \lrcorner \, d\omega_i \in \mathcal{D}^\perp \}$ 来计算特征分布。
• 通过 $d\omega_i \wedge d\omega_j \mod \mathcal{I}$ 的消失性验证 Engel 秩条件，该条件等价于 Engel 秩为 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种几何条件可确保一个分布与 $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上的典型接触系统在曲线情形下实现局部等价？
• RQ2 如何区分正则点（系统等价于典型接触系统）与奇异点？
• RQ3 何种规范形适用于奇异接触系统，以推广 Kumpera-Ruiz 与 Goursat 形式？
• RQ4 在何种条件下，一个给定分布中存在余维一的对合子分布？
• RQ5 如何利用如 Engel 秩等经典微分不变量来检验此类子分布的存在性？

主要发现

• 定理 1.1 建立了基于 Engel 秩与余维一的对合子分布存在的必要且充分几何条件，以判断一个分布是否与 $J^n(\mathbb{R}, \mathbb{R}^m)$ 上的典型接触系统实现局部等价。
• 在正则点处，系统局部等价于典型接触系统当且仅当 Engel 秩为 1 且存在一个余维一的对合子分布。
• 在奇异点处，系统具有新的规范形——称为扩展的 Kumpera-Ruiz 规范形——其以类似于 Kumpera-Ruiz 推广 Goursat 的方式，推广了 Goursat 规范形。
• 通过 Bryant 的方法，利用典范正交 $\mathcal{D}^\perp$ 与集合 $\mathcal{W}(\omega_i)$，刻画了满足 $[\mathcal{B}, \mathcal{B}] \subset \mathcal{D}$ 的余维一的对合子分布 $\mathcal{B}$ 的存在性。
• 对所有 $i,j$ 满足 $d\omega_i \wedge d\omega_j \equiv 0 \mod \mathcal{I}$ 的条件等价于 Engel 秩为 1，为正则情形提供了可检验的准则。
• 唯一此类子分布 $\mathcal{B}$ 的构造显式给出为 $\mathcal{B} = \sum_{i=1}^{r_0} \mathcal{W}(\omega_i)$，且当 $r_0 = 2$ 时，仅需使用其中两个形式即可。