[论文解读] Containment: A Variation of Cops and Robbers

Danny Crytser, Natasha Komarov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出了一种名为'Containment'的Cops and Robber游戏变体，其中警卫沿边移动，通过占据罪犯所在顶点的所有关联边来获胜，而非在顶点上捕获罪犯。主要贡献在于建立了可 containment 数 ξ(G) 的界限，证明了 c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G)，并证明了在某些立方图中 ξ(G) = Ω(n^{1/6})，表明在稀疏图中存在无界 containment 的可能性。

ABSTRACT

We consider "Containment": a variation of the graph pursuit game of Cops and Robber in which cops move from edge to adjacent edge, the robber moves from vertex to adjacent vertex (but cannot move along an edge occupied by a cop), and the cops win by "containing" the robber---that is, by occupying all $°(v)$ of the edges incident with a vertex $v$ while the robber is at $v$. We develop bounds that relate the minimal number of cops, $ξ(G)$, required to contain a robber to the well-known "cop-number" $c(G)$ in the original game: in particular, $c(G) {\le} ξ(G) {\le} γ(G) Δ(G)$. We note that $ξ(G) {\geq} δ(G)$ for all graphs $G$, and analyze several families of graphs in which equality holds, as well as several in which the inequality is strict. We also give examples of graphs which require an unbounded number of cops in order to contain a robber, and note that there exist cubic graphs with $ξ(G) \geq Ω(n^{1/6})$.

研究动机与目标

• 形式化并分析一种名为 'Containment' 的新型 Cops and Robber 游戏变体，其中警卫沿边移动，通过占据罪犯所在顶点的所有关联边来获胜。
• 确定在任意连通无向图 G 上，为确保控制罪犯所需警卫的最小数量 ξ(G)。
• 建立 ξ(G) 与经典图参数（如警卫数 c(G)、支配数 γ(G) 和最大度 Δ(G)）之间的理论界限。
• 研究是否存在图使得控制所需的警卫数量无界增长，特别是在稀疏图或高围长图中。
• 探索使图可 containment 或不可 containment 的图结构特性，特别是正则图和立方图。

提出的方法

• 定义游戏规则：警卫从一条边移动到相邻边，罪犯从一个顶点移动到相邻顶点，当罪犯所在顶点的所有关联边均被警卫占据时游戏结束。
• 将可 containment 数 ξ(G) 定义为在图 G 上确保控制罪犯所需的最少警卫数量。
• 通过将 Containment 策略归约为标准 Cops and Robber 策略，证明 c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G)。
• 利用极值图论，特别是关于高围长和最小度图的 Frankl 定理，构造出具有高可 containment 数的图。
• 分析具有高围长的正则图和立方图，推导 ξ(G) 的下界，证明在某些立方图族中 ξ(G) = Ω(n^{1/6})。
• 利用围长和度数约束，证明当 δ > 2 且围长 ≥ 5 时，δ-正则图无法被 δ 名警卫控制，从而确立不可 containment 的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在原始 Cops and Robber 游戏中，可 containment 数 ξ(G) 与经典警卫数 c(G) 之间存在何种关系？
• RQ2 是否存在图使得 ξ(G) 随 n 无界增长，即使最大度 Δ(G) 有界？
• RQ3 对于哪些图族（尤其是正则图或立方图）而言，可 containment 数 ξ(G) 严格大于 Δ(G)？
• RQ4 在何种结构条件下（如围长、正则性）可证明图无法被 Δ(G) 名警卫控制？
• RQ5 两个可 containment 图的笛卡尔积是否仍为可 containment 图？若否，何种条件可保证或阻止此类积图的 containment 性质？

主要发现

• 可 containment 数 ξ(G) 满足界限 c(G) ≤ ξ(G) ≤ Δ(G)γ(G)，将其与经典图参数联系起来。
• 对所有图 G 均有 ξ(G) ≥ Δ(G)，且在多个图族中等号成立，包括完全图和某些树。
• 存在图即使 Δ(G) 有界，仍需无界数量的警卫才能控制，表明 ξ(G) 可随 n 增长。
• 对于高围长的立方图，ξ(G) = Ω(n^{1/6}) 成立，表明即使在稀疏图中，控制也可能需要超常数数量的警卫。
• Petersen 图无法被 Δ(G) = 3 名警卫控制，且更一般地，δ > 2 且围长 ≥ 5 的 δ-正则图无法被 δ 名警卫控制。
• 若 G 和 H 均可 containment，则 G□H 可 containment 的猜想不成立，反例为 Q₃□K₂ = Q₄。