[论文解读] Containment logics and Plonka sums of matrices

Stefano Bonzio, Michele Pra Baldi|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Advanced Algebra and Logic被引用 6

一句话总结

本文通过将Plonka和从代数扩展到逻辑矩阵，为包含逻辑（即右变量包含逻辑的伴生逻辑）引入了一种矩阵语义。它为一大类此类逻辑建立了完备性，提供了希尔伯特风格的公理化体系，并刻画了其Leibniz与Suszko约化模型，从而为这些逻辑的代数与证明论分析提供了一个统一框架。

ABSTRACT

In this paper we study the right variable inclusion companion of a logic, also called its containment logic. We show that such logics possess a matrix semantics which is obtained by extending the construction of Plonka sums from algebras to logical matrices. In particular, we provide an appropriate completeness theorem for a wide family of containment logic, and we show how to produce a complete Hilbert style axiomatization. Moreover we characterize the structure of their Lebiniz and Suszko reduce models.

研究动机与目标

• 通过将Plonka和构造从代数扩展到逻辑矩阵，为包含逻辑发展矩阵语义。
• 为一大类包含逻辑建立完备性定理。
• 为这些逻辑提供一个完整的希尔伯特风格公理化体系。
• 刻画包含逻辑中Leibniz与Suszko约化模型的结构。

提出的方法

• 将Plonka和构造从代数扩展到逻辑矩阵，以建模包含逻辑。
• 将广义Plonka和应用于构建捕捉右变量包含性质的矩阵语义。
• 通过证明矩阵语义恰好验证了包含逻辑的定理，从而证明完备性。
• 基于矩阵语义和完备性结果，推导出希尔伯特风格的公理化体系。
• 利用扩展的Plonka和框架分析Leibniz与Suszko约化模型。
• 证明约化模型对应于从矩阵构造中导出的特定商结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Plonka和从代数扩展到逻辑矩阵，以建模包含逻辑？
• RQ2 使用这种扩展的矩阵构造，可以为包含逻辑建立什么样的完备性结果？
• RQ3 能否系统地从矩阵语义推导出希尔伯特风格的公理化体系？
• RQ4 包含逻辑中Leibniz约化模型的结构是什么？
• RQ5 这类逻辑中Suszko约化模型的结构是什么？

主要发现

• 一个逻辑L的包含逻辑被完全刻画为通过在L的代数上进行扩展Plonka和构造的矩阵语义。
• 为一大类包含逻辑建立了完备性定理，确保所有有效公式均可在矩阵框架中推导得出。
• 基于矩阵语义构建了一个完整的希尔伯特风格公理化体系，为代数模型提供了相应的证明论对应。
• 证明了包含逻辑的Leibniz约化模型同构于Plonka和构造中各个矩阵的Leibniz约化。
• Suszko约化模型被刻画为Plonka和中矩阵关于Leibniz同余的商结构，从而保持了逻辑结构。
• 该构造确保包含逻辑通过矩阵语义继承了变量包含性质，从而验证了预期的逻辑行为。