[论文解读] Containment results for ideals of various configurations of points in P^N

Cristiano Bocci, Susan Cooper+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用 14

一句话总结

本文提出并验证了关于射影空间中点的理想符号幂包含关系的一个新猜想（猜想3.9），该猜想扩展了Harbourne与Huneke近期提出的猜想。通过利用Seshadri常数和正则性估计，本文证明了该猜想在$\mathbb{P}^N$中多种点构型下的成立性，包括一般点与特殊点构型。

ABSTRACT

Guided by evidence coming from a few key examples and attempting to unify previous work of Chudnovsky, Esnault-Viehweg, Eisenbud-Mazur, Ein-Lazarsfeld-Smith, Hochster-Huneke and Bocci-Harbourne, Harbourne and Huneke recently formulated a series of conjectures that relate symbolic and regular powers of ideals of fat points in ${\bf P}^N$. In this paper we propose another conjecture along the same lines (Conjecture 3.9), and we verify it and the conjectures of Harbourne and Huneke for a variety of configurations of points.

研究动机与目标

• 扩展并统一近期关于$\ mathbb{P}^N$中重点理想符号幂与普通幂关系的猜想。
• 提出一个关于符号幂包含于极大理想幂与普通幂乘积中的新猜想（猜想3.9）。
• 验证新猜想及现有猜想（如Harbourne-Huneke猜想）在$\ mathbb{P}^N$中各种点构型下的成立性。
• 在特征0下，利用Seshadri常数与Castelnuovo-Mumford正则性强化已知的包含结果。
• 通过分析一般点与特殊点集（包括直线计数构型）提供理论与计算证据支持这些猜想。

提出的方法

• 提出一个形式为$I^{(t(m+1))} \subseteq M^t (I^{(m)})^t$的关于$\ mathbb{P}^N$中点的理想的新包含猜想（猜想3.9）。
• 利用Seshadri常数$\varepsilon(n) \geq 1/\sqrt{n+1}$来界定一般点的$\alpha(I^{(m)})$与$\operatorname{reg}(I^{(m)})$。
• 应用正则性界：当$\ mathbb{P}^2$中存在$n > 9$个一般点时，有$\operatorname{reg}(I^{(m)}) \leq (m+1)\sqrt{n+1} - 2$。
• 利用引理2.6，该引理表明：若$\alpha(J) > t \cdot \operatorname{reg}(I) + t$，则$J \subseteq M^t I^t$。
• 利用不等式$\alpha(I^{(r)}) \geq \alpha(I^{(m)}) + r - m$（引理2.4）比较符号幂的次数。
• 应用已知结果：在特征0下，有$I^{(Nt + (m-1)t)} \subseteq (I^{(m)})^t$与$I^{(Nt + (m-1)t + s)} \subseteq M^s (I^{(m)})^t$。

实验结果

研究问题

• RQ1 新猜想$I^{(t(m+1))} \subseteq M^t (I^{(m)})^t$在$\ mathbb{P}^2$中的一般点理想下是否成立？
• RQ2 Harbourne-Huneke猜想是否可被验证于已知例子之外的点构型？
• RQ3 在$\ mathbb{P}^2$中，$n$个一般点的理想，$\alpha(I^{(m)})$的最优界是什么？
• RQ4 Seshadri常数与Castelnuovo-Mumford正则性如何约束符号幂的包含关系？
• RQ5 在特征0下，$I^{(t(N+m-1)+s)} \subseteq M^s (I^{(m)})^t$在何种条件下成立？

主要发现

• 通过Seshadri常数与正则性界，验证了当$n \geq 10$个一般点在$\ mathbb{P}^2$中且$1 \leq m \leq \sqrt{n+1} - 1$时，猜想3.9成立。
• 当$n \geq 16$个一般点时，由于$\alpha(I^{(t(m+1))}) \geq t(m+1)\sqrt{n}$与$\operatorname{reg}(I^{(m)}) \leq (m+1)\sqrt{n+1} - 2$，有$I^{(t(m+1))} \subseteq M^t (I^{(m)})^t$。
• 在特征0下，对所有$s,t,m \geq 1$，有$I^{(t(N+m-1)+s)} \subseteq M^s (I^{(m)})^t$，从而强化了已知的包含结果。
• 不等式$\alpha(I^{(m)}) \geq m$足以确保$\alpha(I^{(m)})/m \geq 1$，支持了猜想的下界$\alpha(I^{(m)})/m \geq (\alpha(I) + N - 1)/N$。
• 当$n > 9$且$n$不是完全平方数时，有$\operatorname{reg}(I^{(m)}) \leq (m+1)\sqrt{n+1} - 2$，从而可通过引理2.6验证包含关系。
• 基于第二作者的独立工作，猜想3.5在特征0下对$\ mathbb{P}^2$中的直线计数构型已得到验证。