[论文解读] Continued Fractions and Factoring

Michele Elia|arXiv (Cornell University)|May 26, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明，当合数 N 的 √N 连分数展开周期为偶数时，可从中揭示出 N 的一个因子，从而扩展了勒让德关于平方和表示的经典结果。通过改进香克斯的基础设施方法，并利用狄利克雷的类数-单位根积公式，本文提出了一种因数分解算法，其复杂度取决于计算与 L-函数相关的某些积分精度。

ABSTRACT

Legendre found that the continued fraction expansion of $\sqrt N$ having odd period leads directly to an explicit representation of $N$ as the sum of two squares. Similarly, it is shown here that the continued fraction expansion of $\sqrt N$ having even period directly produces a factor of a composite $N$. Shanks' infrastructural method is then revisited, and some consequences of its application to factorization by means of the continued fraction expansion of $\sqrt N$ are derived.

研究动机与目标

• 建立 √N 的连分数展开周期奇偶性与合数 N 的非平凡因子存在性之间的直接联系。
• 将勒让德关于平方和表示的经典结果扩展为基于连分数的因数分解机制。
• 基于香克斯的基础设施方法，利用连分数逼近值和二次型的性质，开发一种因数分解算法。
• 证明 N 的因数分解复杂度受控于估算 h_F R_F 的精度，其中 h_F 是 Q(√N) 的类数，R_F 是单位根。

提出的方法

• 本文利用 √N 的连分数展开，通过二阶递推关系生成连分数逼近值 A_m/B_m。
• 通过识别连分数逼近序列中特定位置的二次型 [1, 2Ω_{τ−1}, Δ_{τ−2}]，应用香克斯的基础设施方法。
• 利用恒等式 A_m B_{m−1} − A_{m−1} B_m = (−1)^{m−1} 确保互素性并追踪逼近值的行为。
• 利用狄利克雷公式 h_F R_F = −∑_{n=1}^{⌊(D−1)/2⌋} (D/n) ln(sin(nπ/D)) 估算类数与单位根的乘积。
• 算法基于 h_F R_F 的近似值执行“大步”操作，以定位接近 kR_F/2 的位置，随后通过“小步”操作精确定位。
• 当在距离起点 h_F R_F / 2^ℓ 处发现判别式为 D 的二次型时，可揭示出 N 的一个因子，尤其在 h_F 为奇数或其 2 的幂次整除时更为显著。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 √N 的连分数展开周期为偶数时，能否直接从中提取出合数 N 的非平凡因子？
• RQ2 香克斯的基础设施方法如何应用于 √N 的连分数逼近序列，以定位能揭示因子的二次型？
• RQ3 h_F R_F 的乘积在决定因数分解过程复杂度方面起什么作用？
• RQ4 为确保该方法的高效因数分解，h_F R_F 需要多高的估算精度？
• RQ5 该算法能否迭代使用以完全分解 N？其迭代次数由什么决定？

主要发现

• 当 √N 的连分数展开周期 τ 为偶数时，N 的因子必然出现在连分数逼近序列中位置 (τ−2)/2 + kτ 处。
• 该方法在距离序列起点 h_F R_F / 2 处识别出二次型 [1, 2Ω_{τ−1}, Δ_{τ−2}]，该型可揭示 N 的因子。
• 若 h_F 为奇数，则在距离 h_F R_F / 2 或 3h_F R_F / 2 处找到因子；若 h_F 为偶数，则可迭代定位因子于 h_F R_F / 4 等位置。
• N 的因数分解复杂度由估算 h_F R_F 所需的精度决定，该乘积可通过包含三角函数与对数积分的狄利克雷公式计算。
• 该算法可迭代使用以完全分解 N，每一步均精确定位揭示新因子的二次型位置。
• 若 h_F R_F 可以足够精确地近似，该方法或可实现多项式时间因数分解，但近似精度与计算成本之间的最优权衡仍有待解决。