[论文解读] Continuity and differentiability properties of the isoperimetric profile in complete noncompact Riemannian manifolds with bounded geometry

Abraham Muñoz Flores, Stefano Nardulli|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 13

一句话总结

本论文在具有有界几何的完备非紧黎曼流形上建立了等周函数 $I_M$ 的连续性与可微性性质——该几何条件由下有界的里奇曲率和单位球体积的统一正下界定义。在额外的几何约束下，论文证明了 $I_M$ 满足一个微分不等式，并将经典结果从紧致情形推广至非紧致情形。

ABSTRACT

For a complete noncompact connected Riemannian manifold with bounded geometry $M^n$, we prove that the isoperimetric profile function $I_{M^n}$ is continuous. Here for bounded geometry we mean that $M$ have $Ricci$ curvature bounded below and volume of balls of radius $1$, uniformly bounded below with respect to its centers. Then under an extra hypothesis on the geometry of $M$, we apply this result to prove some differentiability property of $I_M$ and a differential inequality satisfied by $I_M$, extending in this way well known results for compact manifolds, to this class of noncompact complete Riemannian manifolds with bounded geometry.

研究动机与目标

• 在具有有界几何的完备非紧黎曼流形中建立等周函数 $I_M$ 的连续性。
• 在额外的几何假设下，将 $I_M$ 的可微性与微分不等式结果从紧致情形推广至非紧致流形。
• 通过有限全变差集，证明强形式与弱形式等周函数的等价性。
• 研究在里奇曲率有下界及可能坍塌的条件下，$I_M$ 的连续性与类凹性性质是否仍然保持。
• 探讨巴瓦德-潘苏型不等式在非紧致、非坍塌情形下的有效性。

提出的方法

• 通过有限全变差集定义的等周函数弱形式 $\tilde{I}_M(v) = \inf\{\mathcal{P}(\Omega) : V(\Omega) = v, \Omega \in \tilde{\tau}_M\}$，推广经典定义。
• 应用有界变差函数理论与约化边界 $\partial^*\Omega$，以处理非光滑集并确保几何正则性。
• 通过常曲率模型空间 $\mathbb{M}_k^n$ 运用比较几何，以控制等周区域的平均曲率与内径。
• 利用非坍塌条件（单位球体积统一正下界）通过添加或移除小测地球构造测试集，以证明下半连续性。
• 应用巴瓦德-潘苏附录中的广义等周不等式，推导出 $I_M - Cv^2$ 在分布意义下的微分不等式。
• 依赖于对所有 $v \in (0, V(M))$ 存在等周区域的假设，推导出 $I_M$ 的二阶分布界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有界几何的完备非紧黎曼流形中，等周函数 $I_M$ 是否保持连续？
• RQ2 在何种几何条件下，可将 $I_M$ 的可微性与微分不等式结果从紧致情形推广至非紧致流形？
• RQ3 在非紧致流形中，等周函数的强形式与弱形式是否等价？
• RQ4 巴瓦德-潘苏的类凹不等式能否推广至里奇曲率有下界、非坍塌的非紧致流形？
• RQ5 在里奇曲率有下界且存在等周区域的条件下，$I_M$ 的连续性是否在坍塌情形下依然成立？

主要发现

• 对于任意满足 $\mathrm{Ric} \geq k$ 且对所有 $p \in M$ 有 $\mathrm{Vol}(B(p,1)) \geq v_0 > 0$ 的完备非紧黎曼流形，等周函数 $I_M$ 在 $[0, V(M))$ 上连续。
• 在所有 $v \in (0, V(M))$ 存在等周区域的假设下，函数 $v \mapsto I_M(v) - C v^2$ 在分布意义下具有非正的二阶导数，其中常数 $C = C(a,b,n,k,M)$。
• 当 $k < 0$ 时，在相同存在性假设下，分布意义下有微分不等式 $I_M''(v) \leq -\frac{(n-1)k}{I_M(v)}$。
• 强形式与弱形式的等周函数等价：即使在非紧致情形下也有 $I_M = \tilde{I}_M$。
• 连续性证明依赖于通过添加或移除统一大小的小测地球构造测试集，并利用非坍塌条件。
• 该结果在有界几何条件下将经典紧致流形结果推广至非紧致情形；作者指出，尚不明确仅在里奇曲率有下界而无非坍塌条件时连续性是否仍成立。