[论文解读] Continuity of derivatives of a convex solution to a perturbed one-Laplace equation by $p$-Laplacian

Yoshikazu Giga, Shuntaro Tsubouchi|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用 7

一句话总结

该论文通过p-Laplacian正则化方法，建立了带扰动的一阶Laplace方程凸弱解的C¹-正则性。通过利用凸性与爆破论证，作者证明了在棱面（∇u = 0处）梯度连续，克服了一阶Laplace算子的退化性。关键结果为：即使在梯度为零的点，凸解在全区域上仍为C¹类。

ABSTRACT

We consider a one-Laplace equation perturbed by $p$-Laplacian with $1<p<\infty$. We prove that a weak solution is continuously differentiable ($C^{1}$) if it is convex. Note that similar result fails to hold for the unperturbed one-Laplace equation. The main difficulty is to show $C^{1}$-regularity of the solution at the boundary of a facet where the gradient of the solution vanishes. For this purpose we blow-up the solution and prove that its limit is a constant function by establishing a Liouville-type result, which is proved by showing a strong maximum principle. Our argument is rather elementary since we assume that the solution is convex. A few generalization is also discussed.

研究动机与目标

• 解决带p-Laplacian扰动的一阶Laplace方程弱解的C¹-正则性这一开放问题。
• 证明凸解在梯度为零的棱面边界上仍为连续可微。
• 克服一阶Laplace算子的退化性，该算子在未扰动情况下无法保证C¹-正则性。
• 提出一种基于凸分析与爆破技术的初等论证，避免依赖De Giorgi–Nash–Moser理论。
• 推广结果，证明在右端项f ∈ L^q_loc(Ω)且q > n的最弱假设下，C¹-正则性依然成立。

提出的方法

• 利用解的凸性，将C¹-正则性问题转化为证明在每一点x处次微分∂u(x)为单点集。
• 在棱面F（其中∇u = 0）的点上应用爆破论证，分析缩放解序列的极限。
• 通过证明极限方程的强最大原理，建立极限形状的Liouville型结果，表明其必为常数。
• 利用p-Laplacian扰动确保在梯度空间中远离原点处具有统一椭圆性，从而在非棱面区域实现局部W^{2,2}-正则性。
• 利用凸函数的统一Lipschitz连续性及次梯度收敛定理，完成爆破序列的极限传递。
• 利用能量泛函E(z) = bE₁(z) + Eₚ(z)的梯度的严格单调性，推导爆破分析中的关键不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在一阶Laplace方程带p-Laplacian扰动的弱解中，即使在梯度为零的点，也建立C¹-正则性？
• RQ2 在棱面附近存在退化椭圆性时，解的凸性是否足以恢复C¹-正则性？
• RQ3 能否在棱面附近解的爆破极限上证明Liouville型结果，以表明其为常数？
• RQ4 尽管失去统一椭圆性，p-Laplacian扰动是否足以在棱面处正则化一阶Laplace算子？
• RQ5 能否在非统一椭圆设定下应用强最大原理，以排除非平凡的调和型极限？

主要发现

• 对于f ∈ L^q_loc(Ω)且q > n的一阶Laplace方程带扰动的凸弱解u，即使在∇u = 0的点，也有u ∈ C¹(Ω)。
• 在棱面F中任意点处的解爆破极限为常数函数，该结论通过Liouville型结果证明。
• 将强最大原理应用于爆破极限，表明唯一的有界、非负、弱上调和函数必为常数。
• p-Laplacian扰动确保Hessian矩阵∇²_z E(∇u)在远离∇u = 0处具有统一有界椭圆比，从而实现局部W^{2,2}-正则性。
• 在Ω中每一点x处，次微分∂u(x)为单点集，这等价于u在x处为C¹类，该结论通过凸分析与爆破论证证明。
• 该结果在最弱假设下成立：f ∈ L^q_loc(Ω)且q > n，且解为凸函数，无需f的光滑性或边界正则性假设。