[论文解读] Continuity of maps solutions of optimal transportation problems

Grégoire Loeper|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2005

Optimization and Variational Analysis参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文通过分析求解涉及与代价函数相关的海森矩阵项的蒙日-安培方程的势函数，建立了最优传输映射的C¹和C¹,α正则性。在代价函数满足A3条件且可积性f ∈ Lᵖ（p > n）的条件下，作者获得比标准蒙日-安培情形更优的C¹,α正则性，表明代价函数的结构特性可带来正则性提升。

ABSTRACT

In this paper we investigate the continuity of maps solutions of optimal transportation problems. These maps are expressed through the gradient of a potential for which we establish C 1 and C 1,α regularity. Our results hold assuming a condition on the cost function (condition A3 below), that was the one used for C 2 a priori estimates in [5]. The optimal potential will solve a Monge-Ampère equation of the form det(M(x, ∇φ) + D 2 φ) = f where M depends on the cost function. One of the interesting outcome is that under the condition A3, the regularity obtained is better than the one obtained in the case of the ’usual ’ Monge-Ampère equation det D 2 φ = f, in particular we will obtain here C 1,α regularity for φ under the condition f ∈ L p,p> n.

研究动机与目标

• 在代价函数的结构条件下，建立最优传输映射的更高正则性。
• 分析求解包含与代价函数相关海森矩阵项的蒙日-安培方程的势函数。
• 将A3条件下的解正则性与经典蒙日-安培设定下的正则性进行比较。
• 证明当密度f属于Lᵖ且p > n时，可实现优于经典情形的正则性，特别是C¹,α正则性。

提出的方法

• 作者推导出形如det(M(x, ∇φ) + D²φ) = f的蒙日-安培方程，其中M依赖于代价函数。
• 应用[5]中的先验C²估计，依赖A3条件以控制海森矩阵项的结构。
• 分析聚焦于其梯度生成最优传输映射的势φ。
• 通过先验估计建立φ的C¹和C¹,α有界性，从而确立正则性。
• 该方法利用代价函数的结构，使正则性超越标准情形det D²φ = f。
• 证明依赖于代价函数几何结构与密度f可积性之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代价函数的何种条件下，可证明最优传输映射具有C¹,α正则性？
• RQ2 A3条件如何影响最优传输中蒙日-安培方程解的正则性？
• RQ3 当f ∈ Lᵖ且p > n时，与经典情形相比，最优传输中是否可实现更优正则性？
• RQ4 海森矩阵项M(x, ∇φ)在提升势函数正则性方面起到何种作用？
• RQ5 代价函数的结构如何影响传输映射的C¹,α正则性？

主要发现

• 在A3条件下，求解蒙日-安培方程det(M(x, ∇φ) + D²φ) = f的势函数φ被证明具有C¹,α正则性。
• 当密度f属于Lᵖ且p > n时，可实现C¹,α正则性，优于经典结果。
• 由于代价函数施加的结构，该正则性结果强于标准蒙日-安培方程det D²φ = f的情形。
• A3条件确保了C²正则性的必要先验估计，从而进一步保证了势函数的C¹,α正则性。
• 海森矩阵项M(x, ∇φ)通过改变方程的强椭圆性结构，促进了正则性提升。
• 结果表明，代价函数的几何结构可直接实现优于经典情形的正则性。