[论文解读] Continuity of Plurisubharmonic Envelopes in Non-Archimedean Geometry and Test Ideals (with an Appendix by Jos\'e Ignacio Burgos Gil and Mart\'in Sombra)

Walter Gubler, Philipp Jell+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文在正特征函数域上的曲线和曲面情形下，建立了非阿基米德几何中多重次调和包络的连续性，证明策略中以测试理想替代了乘子理想。在奇点解析化的假设下，证明了连续半正度量解非阿基米德蒙日-安培方程的存在性，附录提供了一个反例，表明在 торic 模型中，收缩映射可能不保持半正性。

ABSTRACT

Let L be an ample line bundle on a smooth projective variety X over a non-archimedean field K. For a continuous metric on L, we show in the following two cases that the semipositive envelope is a continuous semipositive metric on L and that the non-archimedean Monge-Amp\`ere equation has a solution. First, we prove it for curves using results of Thuillier. Second, we show it under the assumption that X is a surface defined geometrically over the function field of a curve over a perfect field k of positive characteristic. The second case holds in higher dimensions if we assume resolution of singularities over k. The proof follows a strategy from Boucksom, Favre and Jonsson, replacing multiplier ideals by test ideals. Finally, the appendix by Burgos and Sombra provides an example of a semipositive metric whose retraction is not semipositive. The example is based on the construction of a toric variety which has two SNC-models which induce the same skeleton but different retraction maps.

研究动机与目标

• 在正特征函数域上的曲线和曲面情形下，建立非阿基米德几何中多重次调和包络的连续性。
• 通过在证明框架中以测试理想替代乘子理想，将非阿基米德 Calabi–Yau 问题推广至正特征情形。
• 研究 toric 模型中收缩映射与半正度量的行为，特别是与蒙日-安培方程的关系。
• 提供一个反例，表明半正度量的收缩在高维 toric 模型中可能不再保持半正性。
• 将连续半正解存在性结果从特征零情形推广至正特征情形。

提出的方法

• 通过将 Boucksom、Favre 和 Jonsson 的策略改编为以测试理想替代乘子理想，以处理正特征情形。
• 利用 SNC 模型骨架上的分段线性结构，定义并分析多重势论对象，如包络和蒙日-安培测度。
• 通过渐近测试理想和模型度量中对零函数的一致收敛性，证明半正包络 P(∥∥) 的连续性。
• 利用奇点解析化和模型函数的下降技巧，将曲线情形的结果推广至曲面情形。
• 通过构造两个具有同构骨架但非等价收缩映射的 P²_K 的 SNC 模型，构建 toric 几何中的显式反例。
• 利用 toric psh 函数与牛顿多面体上凹函数之间的对应关系，分析收缩下半正性失效的原因。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征域上的非阿基米德几何中，连续度量的半正包络是否仍保持连续？
• RQ2 在奇点解析化的假设下，非阿基米德蒙日-安培方程是否能由连续半正度量求解？
• RQ3 与 toric 模型相关的收缩映射是否与度量的半正性相容，或是否可能将半正度量映射为非半正度量？
• RQ4 即使解不通过粗略模型的收缩映射因子化，它们是否仍能通过精细模型的收缩映射因子化？
• RQ5 在正特征情形下，非阿基米德多重势论中，乘子理想理论在多大程度上可被测试理想替代？

主要发现

• 对于非阿基米德域上的曲线，半正包络 P(∥∥) 是连续的，将 Thuillier 的结果推广至连续情形。
• 对于定义在完美正特征域上曲线的函数域上的曲面，在奇点解析化的假设下，半正包络是连续的。
• 在曲线情形以及高维情形下奇点解析化的假设下，非阿基米德蒙日-安培方程存在连续半正解。
• 附录构造了一个 toric 代数簇，其两个 SNC 模型诱导相同的骨架但具有不同的收缩映射，表明半正度量的收缩可能不再保持半正性。
• 一个具体例子表明，蒙日-安培方程的解 ϕ′ 不满足 ϕ′ = ϕ′ ◦ pX，说明因子化性质在维度 ≥2 时失效。
• 蒙日-安培方程的解可通过精细模型的收缩因子化，提示因子化性质可能可推广至粗化精细模型的情形。