[论文解读] Continuity of Ricci Flow Through Neck Pinch Singularities

Sajjad Lakzian|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过将演化流形建模为积分当前空间，并证明在Sormani-Wenger内蕴平坦（SWIF）距离下的收敛性，建立了Angenent-Caputo-Knopf Ricci流在颈缩奇点处的连续性。关键结果是，即使在球体分裂为两个通过逐渐消失的细丝连接的不相交部分时，流在奇点时间仍保持连续。

ABSTRACT

In this article, we consider the Angenent-Caputo-Knopf's Ricci Flow through neckpinch singularities. We will explain how one can see the A-C-K's Ricci flow through a neckpinch singularity as a flow of integral current spaces. We then prove the continuity of this weak flow with respect to the Sormani-Wenger Intrinsic Flat (SWIF) distance.

研究动机与目标

• 通过内在几何收敛性建立在颈缩奇点处的弱Ricci流概念。
• 通过采用内在平坦距离（SWIF）作为收敛框架，解决Ricci流中缺乏环境度量的问题。
• 通过将奇点后的流形视为不相交并集且连接细丝趋于消失的方式，将连续流的概念扩展至光滑手术之外。
• 证明Ricci流在SWIF距离下相对于时间保持连续，即使在奇点时间亦然。
• 为奇异情况下的弱Ricci流提供一个严格的几何框架，类似于Brakke对平均曲率流的工作。

提出的方法

• 将Ricci流建模为一族积分当前空间 (X(t), D(t), T(t))，其中 X(t) 为度量空间，D(t) 为距离，T(t) 为当前结构。
• 通过长度 L(t) > 0 的细丝在 t > 0 时将两个球形部分粘合，使得在奇点时间 L(0) = 0。
• 使用Sormani-Wenger内蕴平坦（SWIF）距离比较不同时刻的积分当前空间，其定义基于嵌入到共同度量空间中的等距嵌入的下确界。
• 通过微分同胚的开子集估计SWIF距离，并利用拉回度量和长度畸变界控制度量畸变。
• 应用Lakzian-Sormani（2013）先前估计的修改版本，以在度量畸变受控时界定空间之间的内蕴平坦距离。
• 通过证明当邻域半径趋于零时，管状邻域补集的体积趋于零，从而证明在奇点时间的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管失去光滑性，Ricci流在颈缩奇点处是否可被定义为几何意义上的连续对象？
• RQ2 当不存在环境空间时，内在平坦距离（SWIF）是否是弱Ricci流的合适收敛准则？
• RQ3 由两个不相交部分通过趋于消失的细丝连接的奇点后流形的几何结构，如何收敛至奇点极限？
• RQ4 随着流经奇点时间演化，预奇点、奇点和奇点后空间之间的SWIF距离是否趋于零？
• RQ5 是否可以仅依赖内在几何结构，而不依赖手术或环境度量，建立流的连续性？

主要发现

• 根据定理1.1，Ricci流在颈缩奇点处相对于Sormani-Wenger内蕴平坦（SWIF）距离是连续的。
• 当 t 从下方趋近奇点时间 T 时，预奇点流与奇点极限空间之间的SWIF距离趋于零。
• 当 t 从上方趋近 T 时，奇点后流与奇点极限空间之间的SWIF距离趋于零，从而证明了在奇点处的连续性。
• 当邻域半径缩小至零时，中心颈部位管状邻域外部区域的体积趋于零，这对SWIF估计至关重要。
• 由于拉回度量的光滑收敛性以及细丝长度趋于零，演化流与极限空间之间的度量畸变在 t → T 时消失。
• 即使奇点后部分为不相交结构，只要细丝长度 L(t) → 0 且度量在紧子集上光滑收敛，流的连续性仍可保持。