[论文解读] Continuity of the Oseledets Decomposition

Pedro Duarte, Silvius Klein|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 4

一句话总结

本论文在一致大偏差估计（uniform large deviation estimates）下，通过基于雪崩原理（Avalanche Principle）的归纳方法，建立了线性胞丛（linear cocycles）的Oseledets滤子与分解的连续性。该工作基于雪崩原理，给出了乘法遍历定理的新证明，并在适当的可积性与偏差条件下，推导出Lyapunov子空间作为胞丛函数的定量连续性界。

ABSTRACT

We consider an abstract space of measurable linear cocycles and we assume the availability in this space of some appropriate uniform large deviation type estimates. Under these hypotheses we establish the continuity of the Oseledets filtration and decomposition as functions of the cocycle. The same assumptions lead in [6] to a general continuity theorem for the Lyapunov exponents. This result and other technical estimates derived in [6], along with the inductive scheme based on the Avalanche Principle, are the main ingredients of the arguments in this paper. We also give a new proof of the classical Multiplicative Ergodic Theorem of V. Oseledets, using the Avalanche Principle (AP). This is a draft of a chapter in our forthcoming research monograph [6].

研究动机与目标

• 在一致大偏差估计下，建立Oseledets滤子与分解作为线性胞丛函数的连续性。
• 利用雪崩原理，不依赖纤维作用的可逆性，给出乘法遍历定理的新证明。
• 推导有限尺度滤子收敛至Oseledets滤子的速率的定量估计。
• 分析在Oseledets分解连续性背景下子空间交集的Lipschitz行为。
• 在适当的可测胞丛拓扑空间中，形式化并证明连续性结果，考虑子空间维数可能变化的情形。

提出的方法

• 利用雪崩原理估计矩阵乘积中最膨胀奇异方向之间的距离，从而在有限尺度滤子上实现归纳控制。
• 应用一致的大偏差型（LDT）估计，确保雪崩原理假设在小的例外集合外仍成立。
• 将Oseledets滤子构造为基于矩阵迭代 $A^{(n)}(x)$ 的奇异值分解滤子的 μ-a.e. 极限。
• 将Oseledets分解定义为 $A$ 的滤子分量与伴随胞丛 $A^*$ 滤子的正交补的交集。
• 使用度量 $d(E_{\bullet}^{(n)}(B_1)(x), E_{\bullet}^{(n)}(B_2)(x))$ 量化有限尺度的连续性，其界由角度距离估计导出。
• 采用估计式 $d(F_1 \sqcap F_1', F_2 \sqcap F_2') \lesssim \max\{1/\theta_{\sqcap}(F_1,F_1'), 1/\theta_{\sqcap}(F_2,F_2')\} \cdot (d_\tau(F_1,F_2) + d_{\tau^\perp}(F_1',F_2'))$ 来控制子空间交集的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Oseledets滤子作为胞丛函数在适当拓扑下是连续的？
• RQ2 能否在不假设纤维作用可逆的条件下，利用雪崩原理重新证明乘法遍历定理？
• RQ3 在一致LDT估计下，有限尺度奇异值分解收敛至Oseledets滤子的速率如何？
• RQ4 Oseledets分解在胞丛的小扰动下如何表现？其连续性模数为何？
• RQ5 一致LDT估计在确保Lyapunov子空间及其交集的连续性中起何作用？

主要发现

• 在任意满足一致大偏差估计的胞丛邻域内，Oseledets滤子作为胞丛的函数是连续的。
• Oseledets分解在整个可测胞丛空间中连续，其连续性模为 $\omega(h) = [\underline{\iota}(c \log \frac{1}{h})]^{1/2}$。
• 在相同假设下，有限尺度分解 $E_{\cdot}^{(n)}(B)(x)$ 几乎处处收敛于Oseledets分解 $E_{\cdot}^{\tau}(B)(x)$。
• 有限尺度连续性具有指数收敛率：若 $\text{dist}(B_1,B_2) < e^{-C_1 n}$，则在测度小于 $\iota_n$ 的集合外，有 $d(E_{\cdot}^{(n)}(B_1)(x), E_{\cdot}^{(n)}(B_2)(x)) < e^{-C_3 n}$。
• 映射 $B \mapsto E_{\cdot}^{\tau}(B)$ 满足逐点估计 $\mu\{x : d(E_{\cdot}^{\tau}(B_1), E_{\cdot}^{\tau}(B_2)) > \text{dist}(B_1,B_2)^\alpha\} < \omega(\text{dist}(B_1,B_2))$，其中某 $\alpha > 0$。
• 基于有限尺度SVD滤子的收敛性，利用雪崩原理，不依赖纤维作用可逆性，建立了乘法遍历定理的新证明。