[论文解读] Continuity of volumes on arithmetic varieties

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Dec 11, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文建立了算术簇上 $C^{\infty}$-赫米特可逆层的算术体积函数的连续性，证明了该体积函数在有理 Néron-Severi 群上连续。关键结果是为拟正赫米特线丛建立了算术 Hilbert-Samuel 公式，该公式通过算术自交数的正性来刻画大性。

ABSTRACT

We introduce the volume function for hermitian invertible sheaves on an arithmetic variety as an analogue of the geometric volume function. The main result of this paper is the continuity of the arithmetic volume function. As a consequence, we have the arithmetic Hilbert-Samuel formula for a nef hermitian invertible sheaf. We also give another several applications, for example, a generalized Hodge index theorem, an arithmetic Bogomolov-Gieseker's inequality, etc.

研究动机与目标

• 为算术簇上的 $C^{\infty}$-赫米特可逆层定义并研究算术体积函数，作为几何体积函数的类比。
• 在有理 Néron-Severi 群上建立算术体积函数的连续性，解决算术几何中的一个基本问题。
• 为拟正赫米特线丛推导算术 Hilbert-Samuel 公式，将大性与算术自交数的正性联系起来。
• 作为连续性结果的应用，证明广义 Hodge 指数定理和算术 Bogomolov-Gieseker 不等式。

提出的方法

• 通过在上确界范数有界于 1 的截面的对数增长的上极限来定义算术体积函数。
• 证明体积函数的齐次性，并利用该性质将其延拓到有理 Néron-Severi 群。
• 建立一个关键技术估计（定理 C），涉及具有受控上同调增长的算术簇上线丛的截面。
• 基于除子的几何和上同调界进行直接估计，证明连续性，避免依赖算术 Riemann-Roch 定理。
• 应用连续性结果，在拟正性和半正性条件下推导算术 Hilbert-Samuel 公式和广义 Hodge 指数定理。
• 通过奇点的解析化和幅丛假设，将问题约化到已知情形，并应用上同调增长估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 算术体积函数在算术簇的有理 Néron-Severi 群上是否连续？
• RQ2 算术 Hilbert-Samuel 公式是否对拟正 $C^{\infty}$-赫米特线丛成立？
• RQ3 在拟正性和半正性条件下，能否为算术簇建立广义 Hodge 指数定理？
• RQ4 在何种条件下，算术自交数的正性蕴含赫米特线丛的大性？
• RQ5 能否从广义 Hodge 指数定理推导出算术 Bogomolov-Gieseker 不等式？

主要发现

• 算术体积函数在 $\widehat{\operatorname{Pic}}(X)\otimes\mathbb{Q}$ 上连续，这蕴含了拟正赫米特线丛的算术 Hilbert-Samuel 公式成立。
• 对于拟正 $C^\infty$-赫米特线丛 $\overline{L}$，算术 Hilbert-Samuel 公式成立：$\log\#\{s\in H^0(X,mL+N)\mid\|s\|_{\sup}\leq 1\} = \frac{\widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d})}{d!}m^d + o(m^d)$ 当 $m\to\infty$ 时。
• 算术体积满足 $\widehat{\operatorname{vol}}(\overline{L}) = \widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d})$ 对于拟正 $\overline{L}$，且 $\overline{L}$ 是大的当且仅当 $\widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d}) > 0$。
• 广义 Hodge 指数定理成立：若 $L_\mathbb{Q}$ 是拟正的，$c_1(\overline{L})$ 是半正的，且 $L$ 具有适度的上同调增长，则 $\widehat{\operatorname{vol}}(\overline{L}) \geq \widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d})$。
• 算术 Bogomolov-Gieseker 不等式对算术曲面上的爱因斯坦-赫米特赫米特向量丛成立：$\widehat{\operatorname{deg}}\left(\widehat{c}_2(\overline{E}) - \frac{r-1}{2r}\widehat{c}_1(\overline{E})^2\right) \geq 0$。
• 体积函数的连续性使得在纤维上拟正性和第一陈类形式半正的条件下，可以得出结论：当 $\widehat{\operatorname{deg}}(\widehat{c}_1(\overline{L})^{\cdot d}) > 0$ 时，$\overline{L}$ 是大的。