[论文解读] Continuity principle and extension properties of meromorphic mappings with values in non K\"ahler manifolds

Sergei Ivashkovich|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 1997

Meromorphic and Entire Functions被引用 3

一句话总结

本文建立了复空间中亚纯映射的非凯勒类 Levi 连续性原理，证明在有界循环几何条件下，此类映射可沿余维数 ≥2 的解析集延拓。此外，本文识别了在具有全纯闭赫米特定量的复空间中，奇点移除的几何障碍，将 Hartogs 型延拓定理推广至凯勒设定之外。

ABSTRACT

. In this paper we are proving an analogue of E. Levi Continuity Principle for meromorphic mappings with values in general complex spaces. We also describe the singularities of meromorphic mappings into complex spaces carrying pluriclosed Hermitian metric forms and geometrical obstructions to removing them. Contents 0. Introduction 2 0.1. Continuity principle 2 0.2. Hartogs-type extension theorem and spherical shells 5 0.3. Kahler case: Griffiths approach revisited 8 0.4. Applications, generalisations, open questions 9 1. Continuity principle. 11 1.1. Cycle space associated to a meromorphic map 11 1.2. Analyticity of C f;C 14 1.3. Proof of the Continuity principle 15 1.4. Spaces from G k have bounded cycle geometry 17 1.5. Construction of Example 1 18 2. Hartogs-type extension and spherical shells 19 2.1. Generalities on pluripotential theory 19 2.2. Metrics on complex spaces and proof of Theorem 2 in dimension two 22 2.3. Meromorphic families of analytic sets 26 2.4. Proof of Theorem...

研究动机与目标

• 将 Levi 连续性原理推广至取值于非凯勒复空间的亚纯映射。
• 研究非凯勒几何中与亚纯映射相关的循环空间的结构与解析性。
• 刻画取值于配备全纯闭赫米特定量的复空间的亚纯映射的奇点。
• 识别阻止此类映射中孤立奇点被移除的几何障碍。
• 利用全纯势理论与亚纯解析集族，将 Hartogs 型延拓定理推广至非凯勒设定。

提出的方法

• 构造与亚纯映射 $ f $ 相关的循环空间 $ C_f $，并证明其在环境复空间中的解析性。
• 对来自 $ G_k $ 的空间施加有界循环几何条件，以控制亚纯映射的行为。
• 运用全纯势理论分析次全纯函数及其在延拓性质中的作用。
• 利用亚纯解析集族来建模映射沿余维数 ≥2 的解析集的延拓。
• 分析全纯闭赫米特定量与复空间中奇点几何之间的相互作用。
• 通过度量诱导的曲率与解析容量条件，在二维情形证明延拓定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 Levi 连续性原理能否推广至取值于非凯勒复空间的亚纯映射？
• RQ2 目标空间的何种几何条件可保证相关循环空间的解析性？
• RQ3 全纯闭赫米特定量如何影响亚纯映射的可移除奇点问题？
• RQ4 在非凯勒流形中，沿解析集延拓亚纯映射的障碍是什么？
• RQ5 Hartogs 型延拓定理在凯勒情形之外可被推广到何种程度？

主要发现

• 与亚纯映射 $ f $ 相关的循环空间 $ C_f $ 在环境复空间中是解析的，从而可应用解析开拓技术。
• 在具有有界循环几何的空间中，亚纯映射可沿余维数 ≥2 的解析集延拓，推广了经典的 Hartogs 定理。
• 在存在全纯闭赫米特定量的情形下，亚纯映射的奇点受与曲率和全纯势理论相关的几何不变量所阻碍。
• 本文构造了一个显式例子（例 1），展示了当循环几何无界时延拓会失败。
• 在二维情形，若存在全纯闭赫米特定量并满足适当的解析容量界，则亚纯映射的延拓得以保证。
• 结果为理解延拓现象提供了非凯勒框架，将 Griffiths 的方法拓展至凯勒几何之外。