[论文解读] Continuity Properties of Game-theoretic Upper Expectations

Natan T’Joens, Jasper De Bock+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2019

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文研究了在离散时间不确定性过程下博弈论上期望的连续性性质，建立了其在非递减序列和有限函数下行为的基础结果。证明了上期望算子对于一致有下界的序列的逐点极限具有连续性，为博弈论概率中的不确定性建模提供了关键的技术基础。

ABSTRACT

We consider discrete-time uncertain processes with finite state space and study the properties of game-theoretic upper expectations developed by Shafer and Vovk. We start by proving some basic properties, e.g. monotonicity, law of iterated upper expectations,... Afterwards, we show that this operator satisfies several, more involved continuity properties, including continuity with respect to non-decreasing sequences and continuity with respect to specific sequences of so-called `finitary measurable' functions, which are functions that depend on a finite number of states.

研究动机与目标

• 在有下界的扩展实变量的非递减序列下，建立博弈论上期望的连续性性质。
• 研究当上期望算子应用于仅依赖有限多个状态的有限函数序列时的行为。
• 为在附录论文中使用的、满足直观公理的最保守不确定性模型提供技术基础。
• 形式化上鞅与全局博弈论上期望算子之间的关系。
• 证明在给定情境下，上期望等于所有在局部点态支配该函数的、有界且极限有界的有限赌博的期望的下确界。

提出的方法

• 通过四个公理（E1–E4）定义有下界的扩展实变量上的上期望，包括一致性与单调性。
• 引入上鞅的概念，作为在有限历史上的取值来建模动态不确定性的资本过程。
• 通过在每个情境下对上鞅值取下确界，构造博弈论上期望算子，以确保全局一致性。
• 使用有限赌博序列（n-可测函数）来逼近一般的扩展实变量，以确保在逐点极限下的收敛性。
• 将一组（sup h_m）-可测赌博的序列转换为一组n-可测赌博的序列，以保持可测性与收敛性。
• 证明在情境s下，上期望E_V(f|s)等于所有满足g ≥_s f的有界、极限有界、有限赌博g的E_V(g|s)的下确界。

实验结果

研究问题

• RQ1 博弈论上期望是否对有下界的扩展实变量的非递减序列具有连续性？
• RQ2 当应用于依赖有限多个状态的有限函数序列时，上期望算子是否保持极限？
• RQ3 给定情境下的上期望是否可表征为所有有界、极限有界、支配性有限赌博的期望的下确界？
• RQ4 上鞅如何与建模动态不确定性的全局博弈论上期望算子相关联？
• RQ5 上期望算子在支配序列的逐点收敛下是否保持单调性与一致性？

主要发现

• 通过极限上确界不等式及构造合适的n-可测赌博序列，证明了上期望算子对有下界的扩展实变量的非递减序列具有连续性。
• 对于任意情境s和扩展实变量空间中的函数f，上期望E_V(f|s)等于所有满足g ≥_s f的有界、极限有界、有限赌博g的E_V(g|s)的下确界。
• 证明表明，任何在Γ(s)上点态支配f的上鞅均可用于从上方界定E_V(f|s)，从而导出下确界表征。
• 通过构造一列n-可测赌博{f_n}，使其逐点收敛于f，确保其期望的上极限被E_V(f|s)从上方有界，这对连续性至关重要。
• 该结果确认了博弈论上期望是满足一致性与单调性公理的最保守模型，因其被定义为所有一致的基于上鞅的期望的下确界。
• 即使逼近序列不一致有上界，该连续性结果依然成立，仅依赖于一致有下界与逐点收敛。