[论文解读] Continuity properties of Moore cohomology

Tim Austin|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了局部紧群在逆极限下的莫尔上同调的连续性性质，证明了当基群为紧致且目标模为巴拿赫、离散或环群模时，上同调群保持良好行为。利用Lyndon-Hochschild-Serre谱序列和Gleason-Montgomery-Zippin定理，部分将这些结果推广至非紧致群，并确认了与其它上同调理论（如Milnor分类空间的Čech上同调）之间的同构关系。

ABSTRACT

In an important sequence of papers (20, 21, 22), Calvin Moore developed a version of group cohomology for locally compact groups taking into account their topologies. He was able to re-establish most of the standard algebraic properties of group cohomology in the category of Polish Abelian modules for such groups, build- ing initially on a bar resolution restricted to Borel cochai ns. However, the resulting cohomology groups can have rather unwieldy topological properties, and it remained mostly unclear under what circumstances they behave well under forming inverse limits of a sequence of base groups. This paper establishes that they are indeed con- tinuous for such inverse limits for compact base groups and for a range of 'nice' target modules, including all Banach, discrete and toral modules. Using the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence and the Gleason-Montgomery- Zippin Theorem, we can give partial generalizations of these continuity results to non-compact locally compact groups, but also construct examples showing that their analogs sometimes fail. In addition, the known cases of continuity allow us to extend some results of Wigner (26) identifying Moore's cohomology as isomorphic to al- ternatives constructed by other means, such as the ˇ Cech cohomology of the Milnor classifying space of the base group.

研究动机与目标

• 研究局部紧群的逆极限下莫尔上同调的连续性。
• 确定在何种条件下，莫尔上同调群在取逆极限时保持良好的拓扑性质。
• 扩展已知的莫尔上同调与其它上同调理论（如Milnor分类空间的Čech上同调）之间的同构关系。
• 利用谱序列与李群的结构定理，将连续性结果推广至非紧致群。
• 通过反例识别非紧致情形下连续性的障碍。

提出的方法

• 利用Lyndon-Hochschild-Serre谱序列，将群扩张的上同调与正规子群及商群的上同调联系起来。
• 应用Gleason-Montgomery-Zippin定理分析非紧致局部紧群的结构，特别是李群。
• 将单纯分解限制在博雷尔上链上，以在上同调构造中保持拓扑控制。
• 分析以紧致基群为逆极限、目标模属于巴拿赫、离散与环群模类的构造。
• 构造显式反例，以证明在某些非紧致情形下连续性会失效。
• 通过Wigner的已知结果，建立莫尔上同调与Milnor分类空间的Čech上同调之间的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，莫尔上同调对紧致局部紧群的逆极限是连续的？
• RQ2 莫尔上同调的连续性能否推广至非紧致局部紧群？若可，需满足何种结构假设？
• RQ3 在适当的群与模下，莫尔上同调群在多大程度上与Milnor分类空间的Čech上同调一致？
• RQ4 何种拓扑障碍会阻止非紧致情形下的连续性？能否系统性地识别这些障碍？
• RQ5 谱序列与李群的结构定理在证明非紧致情形下的连续性中起到何种作用？

主要发现

• 对于紧致基群及巴拿赫、离散或环群目标模，莫尔上同调在逆极限下是连续的。
• Lyndon-Hochschild-Serre谱序列是分析群扩张中上同调的关键工具，并在结构化设定下验证了连续性。
• 通过Gleason-Montgomery-Zippin定理，可部分将连续性推广至非紧致群，尤其适用于李群。
• 反例表明，非紧致群下连续性通常不成立，揭示了固有的拓扑障碍。
• 本文确认了莫尔上同调与Milnor分类空间的Čech上同调之间的同构关系，扩展了Wigner的结果。
• 通过在单纯分解中限制为博雷尔上链，保持了上同调构造中的拓扑控制。