[论文解读] Continuity results for degenerate diffusion equations with $L^{p}_t L^{q}_{x}$ drifts

Sukjung Hwang, Yuming Paul Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2019

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文为具有 $L^p_t L^q_x$ 漂移项的退化扩散方程的非负弱解建立了精确的连续性与 Hölder 正则性结果，识别出均匀连续性的临界亚临界区域。证明了在临界区域中，均匀连续性依赖于漂移项的模连续性，且构造了反例，表明即使漂移项在 $L^d$ 中一致有界并具有受控模，解仍可能失去连续性。

ABSTRACT

In this paper, we study local uniform continuity of nonnegative weak solutions to degenerate diffusion-drift equations in the form \[ u_{t} = Δu^{m} + abla\cdot \left( B (x,t) \, u ight), \quad ext{for } m \geq 1 \] assuming a vector field $B \in L^{p}_t L^{q}_{x}$. Regarding local Hölder continuity, we provide a sharp condition on $p$ and $q$, which is referred to as the subcritical region. In the critical region, the divergence-free condition is essential to providing uniform continuity which depends on the modulus continuity of $B$.

研究动机与目标

• 为具有 $L^p_t L^q_x$ 漂移项的退化扩散-漂移方程的有界非负弱解建立局部一致连续性与 Hölder 正则性。
• 识别出解局部 Hölder 连续性的 $p$ 与 $q$ 的精确条件，区分亚临界区域与临界区域。
• 研究在临界区域中散度为零条件的作用，表明该条件对一致连续性是必不可少的。
• 构造反例，表明解可能不共享任何共同的模连续性，即使漂移项在 $L^d$ 中一致有界且具有受控模。

提出的方法

• 分析方程 $u_t = \Delta u^m + \nabla \cdot (B(x,t)u)$，其中 $m \geq 1$ 且 $B \in L^{2\hat{q}_1}_t L^{2\hat{q}_2}_x(Q_1)$，通过尺度分析定义临界区域与亚临界区域。
• 将 De Giorgi 型迭代技术适配于具有漂移项的退化抛物方程，利用内在几何结构与能量估计。
• 为漂移项 $B$ 引入模连续性 $\varrho_B(r)$，量化其在半径为 $r$ 的球上局部 $L^d$-范数行为，并用其控制解的正则性。
• 构造显式平稳解 $u_N$ 与漂移项 $B_N = \nabla \Phi_N$，其中 $\Phi_N$ 由对数函数导出，以检验连续性阈值。
• 在径向函数中使用对数与双对数尺度，构造在 $L^d$ 中有界的漂移项，但其局部 $L^d$-范数行为越来越奇异。
• 证明解序列 $\{u_N\}$ 不共享任何共同的模连续性，尽管 $\{B_N\}$ 在 $L^d$ 中一致有界且具有统一模 $\omega(r)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有 $L^p_t L^q_x$ 漂移项的退化扩散方程，解局部 Hölder 连续性的 $p$ 与 $q$ 的精确条件是什么？
• RQ2 在 $2/p + d/q = 1$ 的临界区域中，散度为零条件如何影响解的正则性？
• RQ3 是否仅凭漂移项的 $L^p_t L^q_x$ 范数即可保证解的一致连续性，还是需要对其模连续性施加额外控制？
• RQ4 能否构造出在 $L^d$ 中有界且具有受控模连续性的漂移项，使得对应解完全失去一致连续性？
• RQ5 是否存在反例，其中漂移项在 $L^d$ 中一致有界且具有受控模，但解却不共享任何共同的模连续性？

主要发现

• 本文识别出亚临界区域 $2/p + d/q < 1$ 为解局部 Hölder 连续性的充分条件，且通过尺度分析证明了其精确性。
• 在临界区域 $2/p + d/q = 1$ 中，解的一致连续性依赖于 $B$ 的模连续性，而不仅依赖于其 $L^p_t L^q_x$ 范数。
• 对于临界区域中散度为零的漂移项，仅当 $B$ 具有受控模连续性时，解的一致连续性才能保证；否则解可能不具有一致连续性。
• 作者构造了一类在 $L^d$ 中一致有界且具有共同模 $\omega(r)$ 的漂移项 $B_N$，但对应的解 $u_N$ 不共享任何共同的模连续性。
• 反例使用由对数函数导出的径向漂移项 $\nabla \Phi_N$，构造出有界但模连续性随 $N \to \infty$ 越来越不连续的解 $u_N$，即使 $m=1$ 时亦然。
• 该构造表明，连续性的丧失是内在的，且独立于 $B$ 的模连续性，从而证明仅靠 $L^d$-有界性不足以保证临界情形下的均匀连续性。