[论文解读] Continuous Abstraction of Nonlinear Systems using Sum-of-Squares Programming
本文提出一种平方和（SOS）规划方法，用于设计低层控制器并计算非线性控制仿射系统的连续状态抽象的可证明误差界。通过将系统动态近似为多项式，并将抽象状态和输入限制在半代数集合内，该方法将控制器综合与误差界计算建模为SOS优化问题，从而在无需不变性或增量耗散性条件的情况下实现可扩展的、经验证的控制设计。其主要贡献在于为高维非线性系统提供了一种计算上可行且保持验证性的抽象框架。
We present a control design procedure for nonlinear control systems in which we represent a potentially high dimensional system with a low dimensional continuous-state abstraction. The abstraction generates a reference which the original system follows with a low level controller. We propose sum-of-squares programming as a tool to design this controller and to provide an upper bound on the relative error between the system and its abstraction. We compute the low level controller simultaneously with a simulation function that gives the boundedness guarantee for the relative error.
研究动机与目标
- 通过实现低维连续状态抽象，解决形式化方法在高维信息物理系统中可扩展性受限的问题。
- 设计一种低层控制器，确保原系统与抽象系统之间误差有界，且无需依赖不变性或增量耗散性条件。
- 利用平方和优化计算抽象系统与实际系统之间可证明的紧致误差界。
- 提供一种系统化、迭代的约束集精化程序，以实现可接受的误差界。
- 通过非线性实例（包括车队控制与双摆控制）展示方法的广泛适用性。
提出的方法
- 使用多项式动态建立原始非线性控制仿射系统及其低维抽象形式。
- 定义一个流形映射 π(ˆx)，用于为实际系统生成参考轨迹以跟踪。
- 构建误差动态系统 ˙e = fe(e, ˆx, ˆu) + ge(e, ˆx)κ(e, ˆx, ˆu)，以建模与抽象系统的偏离。
- 使用平方和（SOS）优化，同时合成低层控制器 κ 和一种类似李雅普诺夫的仿真函数 V，以证明误差有界性。
- 对抽象状态 ˆX 和输入 ˆU 施加半代数约束，并将控制输入限制 U 作为 SOS 约束纳入。
- 将优化问题表述为最小化子水平集 ΩVγ 的体积，该子水平集作为误差界，同时满足确保前向不变性与控制器可行性的 SOS 条件。
实验结果
研究问题
- RQ1我们能否在不依赖不变性或增量耗散性条件的前提下，利用SOS规划为非线性系统设计低层控制器并计算误差界？
- RQ2当初始误差界过大时，如何系统性地精化约束集以实现期望的误差界？
- RQ3所提出的基于SOS的抽象框架能否应用于车队控制与双摆控制等实际非线性控制问题？
- RQ4求解SOS优化问题在真实非线性系统上的计算可行性如何？
- RQ5抽象流形与多项式逼近的选择如何影响误差界的紧致性？
主要发现
- 该方法成功为两辆车辆的车队控制示例计算出低层控制器与可证明的误差界，在指定的 STL 规范内实现了期望的车距扩展操作。
- 在车队控制示例中，SOS 优化在标准工作站上约 15 分钟内求解完成，且误差界被包含在子水平集 ΩVγ 内。
- 在双摆控制示例中，实际系统与抽象系统相图之间的误差保持较小，且控制输入轨迹紧密跟踪了抽象控制器。
- 双摆控制示例在 5 分钟内完成求解，证明了该方法在状态数达 8 个的系统中具有计算效率。
- 迭代精化程序通过收紧抽象状态与输入集合的半代数约束，成功降低了误差界。
- 该方法避免了对零误差流形不变性或增量耗散性等限制性假设的依赖，从而扩大了其在更广泛非线性系统类别中的适用性。
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