[论文解读] Continuous approximation of $M_t/M_t/1$ distributions with application to production

Dieter Armbruster, Simone Göttlich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2018

Advanced Queuing Theory Analysis被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对 $M_t/M_t/1$ 排队系统中时变队列长度分布的连续漂移-扩散近似，基于半直线上的一类 Smoluchowski 方程。通过将离散的队列长度概率建模为连续概率密度，该方法在近似瞬态行为方面实现了高精度，在与 $L^1$ 误差相比，数值比较中误差最高降低了 95%。

ABSTRACT

A single queueing system with time-dependent exponentially distributed arrival processes and exponential machine processes (Kendall notation $M_t/M_t/1$) is analyzed. Modeling the time evolution for the discrete queue-length distribution by a continuous drift-diffusion process a Smoluchowski equation on the half space is derived approximating the forward Kolmogorov equations. The approximate model is analyzed and validated, showing excellent agreement for the probabilities of all queue lengths and for all queuing utilizations, including ones that are very small and some that are significantly larger than one. Having an excellent approximation for the probability of an empty queue generates an approximation of the expected outflow of the queueing system. Comparisons to several well-established approximation from the literature show significant improvements in several numerical examples.

研究动机与目标

• 开发一种用于时变非齐次 $M_t/M_t/1$ 队列的瞬态队列长度分布的连续近似方法，此类系统难以通过标准 ODE 系统求解。
• 在保持不同利用率水平下精度的同时，通过引入时变到达率与服务率，改进现有的扩散与流体近似方法。
• 通过用 PDE 模型替代离散 ODE 系统，实现对期望输出流量的高效计算，并支持生产计划中的最优控制。
• 通过与精确 ODE 解及知名近似方法的对比，验证该连续模型的鲁棒性，涵盖极端和周期性输入条件。

提出的方法

• 从 $M_t/M_t/1$ 队列的前向 Kolmogorov 方程推导出连续漂移-扩散过程，得到在 $[0, \infty)$ 上具有线性势的 Smoluchowski 类型 PDE。
• 采用 Fokker-Planck 形式化方法建模概率密度 $\rho(x,t)$ 的时间演化，近似离散的 $p_k(t)$（$k \in \mathbb{N}_0$）。
• 为 PDE 实现数值离散化方案，求解完全瞬态情形，并与截断至 1000 个模态的 ODE 系统结果进行比较。
• 利用 Smoluchowski 已知结果，为恒定速率情形建立瞬态情况的解析解，从而验证模型动力学的正确性。
• 将连续模型与重负荷极限联系起来，表明当 $\varrho < 1$ 时，其捕捉到的方差高于经典近似方法。
• 从 PDE 解中计算期望输出流量，并与基于 ODE 的真实输出流量及文献中的近似方法（GVA、GSA）直接比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续 PDE 模型能否准确近似时变非齐次 $M_t/M_t/1$ 队列的瞬态队列长度分布？
• RQ2 在不同输入模式下，所提出的 Smoluchowski PDE 近似方法与 GVA 和 GSA 等现有近似方法相比，其精度如何？
• RQ3 在时变参数下，该连续模型是否能保持关键统计特性（如空闲概率和期望输出流量）？
• RQ4 在极端利用率范围和周期性输入场景中，PDE 近似方法在多大程度上保持了精度？

主要发现

• 在周期性输入条件下，连续 PDE 近似与 ODE 解高度一致，期望输出流量的 $L^1$ 误差为 $0.2622$，而 GVA 为 $10.5651$，GSA 为 $4.8328$。
• 在所有数值示例中，该模型显著优于 GVA 和 GSA 近似方法，其中 GSA 虽最接近，但仍不如所提方法精确。
• 对于恒定速率情形，PDE 的解析解与 Smoluchowski 的已知结果一致，验证了模型在瞬态情形下的正确性。
• 即使在利用率极低或极高时，该近似仍能正确捕捉队列长度和输出流量的动态行为，而经典近似方法在此类情况下会失效。
• PDE 模型可实现期望输出流量的高效计算，并可通过变分方法支持未来最优控制公式的构建。
• 当 $\varrho < 1$ 时，该模型表现出高于经典重负荷近似方法的方差，更准确地反映了真实系统行为，从而提升了精度。