[论文解读] Continuous dependence estimates and homogenization of quasi-monotone systems of fully nonlinear second order parabolic equations

Fabio Camilli, Claudio Marchi|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文为拟单调的完全非线性二阶抛物方程组建立了连续依赖估计，将标量方程的结果推广至弱耦合系统。通过粘性解技巧与拟单调性，推导出霍尔德正则性及消失粘性逼近的收敛速率，并证明了有效算子的周期均质化，通过扰动测试函数与最大值原理论证，将标量结果推广至系统。

ABSTRACT

Aim of this paper is to extend the continuous dependence estimates proved in \\cite{JK1} to quasi-monotone systems of fully nonlinear second-order parabolic equations. As by-product of these estimates, we get an H\\"older estimate for bounded solutions of systems and a rate of convergence estimate for the vanishing viscosity approximation. In the second part of the paper we employ similar techniques to study the periodic homogenization of quasi-monotone systems of fully nonlinear second-order uniformly parabolic equations. Finally, some examples are discussed.

研究动机与目标

• 将标量完全非线性抛物方程的连续依赖估计推广至此类方程的拟单调系统。
• 为弱耦合系统中的消失粘性逼近推导霍尔德正则性与收敛速率。
• 通过扰动测试函数与遍历方法，建立一致抛物拟单调系统的周期均质化。
• 展示结果在随机微分博弈与哈密顿-雅可比-贝尔曼-伊萨尔斯方程中所生系统中的适用性。
• 通过利用拟单调性与粘性解理论，将标量均质化结果推广至系统。

提出的方法

• 采用变量加倍技巧并引入惩罚项，在拟单调性条件下推导连续依赖估计。
• 应用半连续粘性解的最大值原理，控制具有不同系数的解之间的差异。
• 在均质化框架中使用扰动测试函数，将伊顿方法适配至弱耦合系统。
• 运用粘性次与超jet微分工具，包括文献[15]中的超jet包含性质，以处理非光滑解。
• 通过引理A.2实施正则化过程，以光滑函数逼近解，同时保持估计不变。
• 利用最优控制中哈密顿-雅可比-贝尔曼-伊萨尔斯方程的结构，简化估计并推导显式收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 已知标量完全非线性抛物方程具有连续依赖估计，能否将其推广至弱耦合的拟单调系统？
• RQ2 从此类系统的连续依赖估计中，可推导出哪些正则性性质（如霍尔德连续性）？
• RQ3 在拟单调完全非线性抛波方程组中，消失粘性逼近的收敛速率可建立为何种程度？
• RQ4 能否通过粘性方法与扰动测试函数技术，实现一致抛物拟单调系统的周期均质化？
• RQ5 哈密顿-雅可比-贝尔曼-伊萨尔斯方程的结构如何简化分析并改善此情境下的收敛估计？

主要发现

• 本文通过粘性技巧，为拟单调完全非线性抛物方程组建立了连续依赖估计，将标量情形的结果推广至系统。
• 作为连续依赖结果的推论，推导出有界解的显式霍尔德估计。
• 获得了消失粘性逼近的收敛速率估计，优于文献[5]中针对标量方程的结果。
• 证明了一致抛物拟单调系统的周期均质化，收敛至一个均质化极限系统。
• 通过遍历问题刻画了有效哈密顿量，利用扰动测试函数与粘性解理论证明了收敛性。
• 对于源于随机微分博弈的系统，由于系数的特定结构，估计得以简化，从而获得更优的收敛速率。