[论文解读] Continuous Families of Rational Surface Automorphisms with Positive Entropy

Eric Bedford, Kyounghee Kim|ArXiv.org|Apr 13, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过在 $ \mathbb{P}^2 $ 的迭代爆破上定义形如 $ f(x,y) = \left(y, -x + cy + \sum_{\ell \text{ even}} \frac{a_\ell}{y^\ell} + \frac{1}{y^k} \right) $ 的有理映射，构造了具有正熵的有理曲面自同构的连续族，其中参数 $ c \in C_n $ 与 $ a_\ell \in \mathbb{C} $ 在 $ \mathbb{P}^2 $ 的迭代爆破上诱导出自同构。关键结果是此类映射存在于任意高维参数族中，表明具有正熵的有理曲面自同构比以往认为的更为丰富。

ABSTRACT

We construct k-parameter families of rational surface automorphisms for any k. These are automorphisms of surfaces X, which are constructed from iterated blowups over the projective plane. In certain cases: we are able to determine the exact automorphism group of X, as well as when two of the surfaces X are inequivalent.

研究动机与目标

• 为了证明具有正熵的有理曲面自同构比以往认为的更为丰富，尤其是在与环面和 K3 曲面情形进行比较时。
• 构造由复系数 $ a_\ell $ 和实参数 $ c \in C_n $ 参数化的此类自同构的显式族，表明其对所有参数具有非平凡依赖性。
• 证明这些映射源自通过迭代爆破得到的有理曲面自同构，并分析其动力学与代数性质。

提出的方法

• 在 $ \mathbb{P}^2 $ 上定义有理映射 $ f $，使用在 $ y $ 中具有偶次负幂的有理函数，确保其双有理性并可提升为爆破上的自同构。
• 将曲面 $ \mathcal{X}_f $ 构造为在无穷远点处的迭代爆破，特别是关于点 $ [0:1:0] $ 和 $ [0:0:1] $，以解析 $ f $ 的未定性。
• 通过涉及爆破映射 $ \pi $ 的交换图证明 $ f $ 可提升为 $ \mathcal{X}_f $ 上的自同构 $ f_{\mathcal{X}} $，确保 $ \pi \circ f_{\mathcal{X}} = f \circ \pi $。
• 利用诱导映射 $ f_* $ 在 Picard 群上的谱半径计算熵为 $ \log \lambda_{n,k} $，其中 $ \lambda_{n,k} $ 是多项式 $ \chi_{n,k}(x) = 1 - k\sum_{\ell=1}^{n-1} x^\ell + x^n $ 的最大根。
• 分析 $ f $ 在无穷远直线 $ \Sigma_0 $ 和爆破纤维上的作用，表明 $ f^{2n} $ 在这些点处与恒等映射相切，表明其具有抛物行为。
• 证明自同构群 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{X}_f) $ 在 Cremona 同构群中是有限对一的，且当 $ n=2 $ 时，有效 Cremona 同构构成完整的无限二面体群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造具有正熵的有理曲面自同构的连续族，且其维度可任意高？
• RQ2 参数 $ c $ 和 $ a_\ell $ 需满足何种条件，才能使有理映射 $ f $ 通过迭代爆破提升为有理曲面上的自同构？
• RQ3 此类映射的熵如何与诱导映射在 Picard 群上的谱性质相关联？
• RQ4 自同构群 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{X}_f) $ 的结构是怎样的，其在 Cremona 同构群中何时达到最大？
• RQ5 对于不同的参数值 $ a \in \mathbb{C}^{k/2 - 1} $，曲面 $ \mathcal{X}_a $ 是否在全纯微分同构意义下互不等价？

主要发现

• 对每个 $ n \geq 2 $，$ k \geq 4 $ 且为偶数，以及 $ c \in C_n $，公式 (0.1) 中的映射 $ f $ 是具有正熵 $ \log \lambda_{n,k} $ 的自同构，其中 $ \lambda_{n,k} $ 是多项式 $ \chi_{n,k}(x) = 1 - k\sum_{\ell=1}^{n-1} x^\ell + x^n $ 的最大根。
• 映射族 (0.1) 对所有参数 $ a_\ell $ 具有非平凡依赖性；当 $ n=2 $ 时，集合 $ C_2 $ 包含所有 $ 2\cos(j\pi/2) $，其中 $ (j,2)=1 $，即 $ c = 0 $。
• 当 $ n=2 $ 时，有效 Cremona 同构 $ \mathcal{C}_{ef}(\mathcal{X}) $ 与完整的 Cremona 同构群 $ \mathcal{C}(\mathcal{X}) $ 重合，构成由 $ f_* $ 和 $ \rho_* $ 生成的无限二面体群，其中 $ \rho(x,y) = (y,x) $。
• 当 $ n=2 $ 时，曲面 $ \mathcal{X}_a $ 在一般情况下不全纯微分同构：若 $ a, \hat{a} \in U \subset \mathbb{C}^{k/2 - 1} $，$ a \neq \hat{a} $，且 $ a_{k-1} \neq 0 $，则 $ \mathcal{X}_a \not\cong \mathcal{X}_{\hat{a}} $。
• 映射 $ f^{2n} $ 在不变曲线 $ \Sigma_0 $ 的所有点及大多数爆破纤维 $ \mathcal{F}_s^j $ 处与恒等映射相切，确认了这些点处的抛物行为。