[论文解读] Continuous functions in the plane regular after one blowing-up

Goulwen Fichou, Ronan Quarez+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文研究了在实平面上的连续有理函数，这些函数在单点爆破后变为正则函数，引入了[1]-正则函数类。该文在该环中建立了无分母的Positivstellensatz，证明了根式主理想性，并表明此类函数的正性闭包产生半代数集，将实代数几何工具扩展到具有改进正则性性质的该类函数。

ABSTRACT

We study rational functions admitting a continuous extension to the real affine space. First of all, we focus on the regularity of such functions exhibiting some nice properties of their partial derivatives. Afterwards, since these functions correspond to rational functions which become regular after some blowings-up, we work on the plane where it suffices to blow-up points and then we can count the number of stages of blowings-up necessary. In the latest parts of the paper, we investigate the ring of rational continuous functions on the plane regular after one stage of blowings-up. In particular, we prove a Positivstellensatz without denominator in this ring.

研究动机与目标

• 刻画在R²上经一次点爆破后变为正则函数的连续有理函数。
• 分析此类函数的正则性及偏导数行为，特别是其C^k性质。
• 为[1]-正则函数环建立实代数结构，包括无分母的Positivstellensatz。
• 证明[1]-正则函数环具有根式主理想性，并满足Artin-Lang性质。
• 证明此类函数的正性闭包的布尔组合为半代数集。

提出的方法

• 将[1]-正则函数类定义为在一次点爆破后变为正则的有理函数。
• 通过分母的正定性进行局部刻画，以证明一阶偏导数的有界性。
• 利用分母零点集的归纳法，构造无分母的平方和恒等式。
• 通过新的代数技术替代Łojasiewicz性质，以证明实Nullstellensatz。
• 利用Tarski-Seidenberg定理，证明[1]-正则函数的正性闭包为半代数集。
• 构造具有可控分母的显式平方和恒等式，以证明主要的Positivstellensatz。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么条件可确保R²上的有理函数在单次点爆破后变为正则函数？
• RQ2 如何通过其多项式展开式和偏导数刻画此类函数的C^k正则性？
• RQ3 能否为R²上[1]-正则函数环建立无分母的Positivstellensatz？
• RQ4 在[1]-正则函数的背景下，实谱与半代数几何之间有何关系？
• RQ5 布尔组合的[1]-正则函数正性闭包是否仍为半代数集？

主要发现

• R²上[1]-正则函数环满足无分母的Positivstellensatz，即非负函数可表示为该环中元素的平方和。
• [1]-正则函数的一阶偏导数是局部有界的，这是其分母正定性的结果。
• [1]-正则函数环是根式主理想环，尽管原始的Łojasiewicz性质不成立，这体现了一种弱形式的Łojasiewicz性质。
• 任何[1]-正则函数正性闭包的布尔组合都是R²的半代数子集，意味着与Tarski-Seidenberg量化消除相容。
• [1]-正则函数环的实谱满足Artin-Lang性质，将代数结构与半代数几何联系起来。
• 函数f = x³/(x² + y⁴)需要两次爆破阶段才能变为正则函数，说明了一次与多阶段正则性之间的区别。