[论文解读] Continuous invertibility and stable QML estimation of the EGARCH(1,1) model

Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2012

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 43被引用 75

一句话总结

本文引入了连续可逆性作为随机递归方程在波动率模型中的一种稳定性条件，证明了在显式但不可观测的条件下，EGARCH(1,1)模型的准最大似然估计量（QMLE）具有强一致性。本文提出了稳定QMLE（SQMLE）方法，通过将优化限制在经验连续可逆域内，确保在最小正则性假设下具有强一致性和渐近正态性。

ABSTRACT

We introduce the notion of continuous invertibility on a compact set for volatility models driven by a Stochastic Recurrence Equation (SRE). We prove the strong consistency of the Quasi Maximum Likelihood Estimator (QMLE) when the optimization procedure is done on a continuously invertible domain. This approach gives for the first time the strong consistency of the QMLE used by Nelson in \\cite{nelson:1991} for the EGARCH(1,1) model under explicit but non observable conditions. In practice, we propose to stabilize the QMLE by constraining the optimization procedure to an empirical continuously invertible domain. The new method, called Stable QMLE (SQMLE), is strongly consistent when the observations follow an invertible EGARCH(1,1) model. We also give the asymptotic normality of the SQMLE under additional minimal assumptions.

研究动机与目标

• 在先前未被证明的不可观测条件下，建立EGARCH(1,1)模型QMLE的强一致性。
• 在紧集上对由随机递归方程（SREs）驱动的波动率模型，定义并形式化连续可逆性的概念。
• 开发一种实用的估计方法——稳定QMLE（SQMLE）——通过将优化限制在连续可逆域内，确保强一致性。
• 在最小附加正则性假设下，证明SQMLE的渐近正态性。
• 解决EGARCH(1,1)模型中QMLE长期存在的理论空白，特别是Nelson的经验估计量的理论性质。

提出的方法

• 为SRE驱动的波动率模型引入连续可逆性的概念，确保在紧参数集上递归波动率动态的稳定性。
• 通过反向SRE的递归解定义准似然（QL）准则：$ \tilde{g}_{t+1}(\theta) = \tilde{\theta}_t(\tilde{g}_t(\theta), \theta) $，其中 $ \tilde{g}_0(\theta) $ 为任意初始值。
• 通过将优化域限制在经验连续可逆集内，提出稳定QMLE（SQMLE），确保稳定性与一致性。
• 应用次可加遍历定理于SRE导数的李雅普诺夫指数，证明Hessian差的Cesàro平均的几乎必然收敛。
• 利用Hessian差的递归界 $ \frac{1}{n} \big\rfloor \text{tr} \big( \nabla^2 g_t(\tilde{\theta}_n) - \nabla^2 g_t(\theta_0) \big) $ 控制估计误差并证明收敛性。
• 在最小矩和正则性条件下（包括对数矩的存在性和SRE导数的有界性）建立SQMLE的渐近正态性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，EGARCH(1,1)模型的准最大似然估计量（QMLE）具有强一致性？
• RQ2 能否通过将优化域限制在确保可逆性的区域内，在实践中稳定QMLE？
• RQ3 连续可逆性在确保SRE驱动波动率模型中QMLE的稳定性和一致性方面起什么作用？
• RQ4 在最小正则性条件下，稳定QMLE（SQMLE）估计量是否具有渐近正态性？
• RQ5 如何利用SRE和可逆性理论严格建立Nelson经验QMLE的理论性质？

主要发现

• 本文在显式但不可观测的条件下，证明了EGARCH(1,1)模型QMLE的强一致性，解决了长期存在的理论空白。
• 当数据服从可逆的EGARCH(1,1)模型时，若将优化限制在连续可逆域内，稳定QMLE（SQMLE）估计量具有强一致性。
• SQMLE在最小附加假设下实现渐近正态性，包括对数矩的存在性和SRE的有界导数。
• 通过次可加遍历理论，建立了Hessian差的Cesàro平均 $ \frac{1}{n} \big\rfloor \text{tr} \big( \nabla^2 g_t(\tilde{\theta}_n) - \nabla^2 g_t(\theta_0) \big) $ 几乎必然收敛于零。
• 本文表明，递归Hessian差被一个收敛于零的随机函数所控制，从而确保估计量的渐近正态性。
• 该方法通过确保优化路径始终处于SRE连续可逆的区域内，稳定了QMLE，防止波动率预测出现爆炸性行为。