[论文解读] Continuous Matrix Product States for Inhomogeneous Quantum Field Theories: a Basis-Spline Approach

Martin Ganahl|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2017

Advanced Physical and Chemical Molecular Interactions被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种基于样条的连续矩阵乘积态（spMPS）形式，用于在(1+1)维非均匀量子场理论中实现基态的变分优化。通过利用B样条插值和新型重规范技术，作者将先前针对平移对称系统的优化算法扩展至周期性、非均匀哈密顿量，成功计算了周期势中Lieb-Liniger任意子的基态。

ABSTRACT

Continuous Matrix Product States (cMPS) are powerful variational ansatz states for ground states of continuous quantum field theories in (1+1) dimension. In this paper we introduce a novel parametrization of the cMPS wave function based on basis-spline functions, which we coin spline-based MPS (spMPS), and develop novel regauging techniques for inhomogeneous cMPS. We extend a recently developed ground-state optimization algorithm for translational invariant cMPS [M. Ganahl, J. Rincón, G.Vidal. Phys.Rev.Lett. 118,220402 (2017)] to the case of inhomogeneous cMPS and, as proof-of-principle, use it to obtain the ground-state of a gas of Lieb-Liniger bosons in a periodic potential. The proposed method provides a first working implementation of a cMPS optimization for non-translational invariant continuous Hamiltonians.

研究动机与目标

• 解决非均匀量子场理论中连续矩阵乘积态（cMPS）缺乏高效优化方法的问题。
• 克服对非平移不变哈密顿量进行cMPS优化的挑战，该问题长期悬而未决。
• 通过基于B样条函数的参数化方法，实现cMPS波函数的数值稳定且高效的表示（即spMPS）。
• 通过引入适用于spMPS的新重规范程序，将变分优化算法扩展至非均匀系统。
• 通过计算周期势中相互作用Lieb-Liniger任意子气体的基态，验证该方法的可行性。

提出的方法

• 提出一种基于样条的cMPS波函数参数化方法，称为spMPS，利用B样条函数表示cMPS假设中的矩阵值函数Q(x)和R(x)。
• 对连续系统实施基于网格的离散化，其中Q(x_i)和R(x_i)在离散点x_i处定义，并通过B样条插值。
• 开发专用于spMPS的新重规范算法，以在优化过程中保持规范不变性与数值稳定性。
• 通过引入周期性边界条件和spMPS结构，将先前开发的平移对称cMPS基态优化算法推广至非均匀情形。
• 使用稀疏线性求解器（如lgmres）求逆包含正则化晶胞转移算符T_l⊥(x_i)和T_r⊥(x_i)的几何级数，这些算符被投影正交于单位矩阵以消除发散。
• 利用从参考点（如x_i = 0）出发的演化方程，将辅助态H_l(x_i)和H_r(x_i)演化至其他网格点。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于样条的参数化（spMPS）能否提供对非均匀cMPS波函数的稳定且高效的表示？
• RQ2 重规范技术如何推广以在spMPS框架中保持规范不变性与数值精度？
• RQ3 能否将针对平移对称cMPS的基态优化算法扩展至非均匀、周期性哈密顿量？
• RQ4 spMPS形式能否准确描述具有空间非均匀性的强相互作用量子场理论的基态，例如周期势中的Lieb-Liniger任意子？
• RQ5 对转移算符进行正则化在实现spMPS能量期望值的稳定计算中起到什么作用？

主要发现

• 所提出的spMPS形式成功实现了对非均匀连续量子场理论中cMPS的变分优化，标志着首次在非平移不变哈密顿量上实现有效工作。
• B样条插值的使用提供了平滑、灵活且数值稳定的cMPS波函数参数化，避免了简单网格离散化带来的问题。
• 所开发的重规范技术可实现空间域上辅助态的一致且稳定的演化，保持规范不变性，并支持精确的能量计算。
• 所扩展的优化算法成功计算了周期势中Lieb-Liniger任意子气体的基态，证明了该方法的可行性和准确性。
• 通过投影去除单位矩阵分量，对晶胞转移算符进行正则化，消除了几何级数中的发散，使能量期望值有限且具有物理意义。
• 通过使用稀疏线性求解器（如lgmres）求解辅助态方程，实现收敛，利用某一点的解演化至其他点，显著降低了计算成本。