[论文解读] Continuous Optimization for Control of Hybrid Systems with Hysteresis via Time-Freezing

Armin Nurkanović, Moritz Diehl|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2022

Piezoelectric Actuators and Control参考文献 20被引用 9

一句话总结

本文提出了一种时间冻结重构方法，将具有迟滞特性的混合系统转化为分段光滑系统（PSS），从而在不引入整数变量的情况下，通过连续非线性规划（NLP）实现高精度最优控制。通过引入辅助动力学和时钟状态，该方法将状态跳变转化为光滑动力学，使得FESD方法能够精确求解时间最优控制问题，在精度和鲁棒性方面优于混合整数方法。

ABSTRACT

This article regards numerical optimal control of a class of hybrid systems with hysteresis using solely techniques from nonlinear optimization, without any integer variables. Hysteresis is a rate independent memory effect which often results in severe nonsmoothness in the dynamics. These systems are not simply Piecewise Smooth Systems (PSS); they are a more complicated form of hybrid systems. We introduce a time-freezing reformulation which transforms these systems into a PSS. From the theoretical side, this reformulation opens the door to study systems with hysteresis via the rich tools developed for Filippov systems. From the practical side, it enables the use of the recently developed Finite Elements with Switch Detection [Nurkanovic et al., 2022], which makes high accuracy numerical optimal control of hybrid systems with hysteresis possible. We provide a time optimal control problem example and compare our approach to mixed-integer formulations from the literature.

研究动机与目标

• 解决具有迟滞特性的混合系统最优控制问题（OCP）的数值求解挑战，此类系统因与速率无关的记忆效应而表现出严重的非光滑性。
• 克服混合整数最优规划（MIOP）方法的局限性，后者在具有精确切换时间的非线性或时间最优问题中变得计算上不可行。
• 通过将系统重构为PSS，使先进连续优化技术——特别是FESD方法——能够应用于具有迟滞特性的系统。
• 提供一种构造性且理论基础坚实的转化方法，通过时间冻结将迟滞动力学转化为PSS，确保解的等价性。
• 展示连续优化方法在时间最优控制中相对于混合整数公式在精度、收敛鲁棒性和计算效率方面的优越性。

提出的方法

• 提出一种时间冻结重构方法，将迟滞状态 w(t) 视为连续微分状态，通过引入辅助动力学和时钟状态来建模状态跳变。
• 引入一个在辅助系统演化期间冻结的时钟状态，从而能够从连续的时间冻结系统中重构原始的不连续解。
• 构建在原始系统禁止区域演化的辅助常微分方程（ODE），其端点满足状态跳变律，确保解的等价性。
• 使用FESD（带开关检测的有限元法）对所得PSS进行高阶、高精度的离散化，从而实现对非光滑OCP的精确求解。
• 将OCP公式化为互补约束数学规划（MPCC），通过IPOPT等NLP求解器求解，避免使用混合整数规划。
• 在开源NOSNOC软件包中实现该方法，集成CasADi与IPOPT，高效求解离散化后的MPCC。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入整数变量的情况下，将具有迟滞特性的混合系统重构为分段光滑系统（PSS）？
• RQ2 时间冻结重构是否保持原始迟滞系统与转换后PSS之间的解等价性？
• RQ3 能否仅通过连续非线性规划（NLP）技术实现对具有迟滞特性的混合系统的高精度最优控制？
• RQ4 基于FESD的连续方法在精度和收敛性方面与传统混合整数最优规划（MIOP）公式相比表现如何？
• RQ5 时间冻结方法能否实现对具有复杂迟滞动力学的时间最优控制问题的鲁棒且精确求解？

主要发现

• 时间冻结重构方法成功地将一类具有迟滞特性的混合系统转化为PSS，从而使得先进连续最优控制方法得以应用。
• 在时间冻结PSS上应用FESD方法，终端约束违反量为 9.49×10⁻²，显著低于Gurobi和Bonmin的 7.88×10¹。
• NOSNOC（使用IPOPT）在 8.87 秒内求解OCP，最终时间 Tf = 10.26，尽管略慢于Gurobi，但在解的精度上优于Gurobi（5.31 s）和Bonmin（1481.58 s）。
• 通过FESD的连续NLP方法比混合整数方法更具鲁棒性，因为IPOPT（在NOSNOC中使用）在某些离散化变体中未能收敛，而Gurobi则成功收敛。
• 该方法能够实现对具有迟滞特性的时间最优控制问题的高精度求解，如图4所示的平滑且直观的控制轨迹所示，涡轮增压器被最优使用以最小化时间。
• 原始迟滞系统与时间冻结PSS之间的解等价性已严格证明，为该重构方法提供了坚实的理论基础。