[论文解读] Continuous tensor network renormalization for quantum fields

Qi Hu, Adrián Franco-Rubio+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2018

Quantum many-body systems参考文献 30被引用 15

一句话总结

本文提出连续张量网络重整化（cTNR），一种在连续时空下对量子场论执行重整化群流的方法，同时精确保持时空对称性。通过在短距离尺度 $1/\Lambda$ 上对场进行弥散化，cTNR 采用联合缩放与解 entanglement 算符的无穷小粗粒化，成功生成了适当的 RG 流，并从自由标量场论的临界固定点中提取了共形数据。

ABSTRACT

On the lattice, a renormalization group (RG) flow for two-dimensional partition functions expressed as a tensor network can be obtained using the tensor network renormalization (TNR) algorithm [G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 115 (18), 180405 (2015)]. In this work we explain how to extend TNR to field theories in the continuum. First, a short-distance length scale $1/Λ$ is introduced in the continuum partition function by smearing the fields. The resulting object is still defined in the continuum but has no fluctuations at distances shorter than $1/Λ$. An infinitesimal coarse-graining step is then generated by the combined action of a $rescaling$ operator $L$ and a $disentangling$ operator $K$ that implements a quasi-local field redefinition. As demonstrated for a free boson in two dimensions, continuous TNR exactly preserves translation and rotation symmetries and can generate a proper RG flow. Moreover, from a critical fixed point of this RG flow one can then extract the conformal data of the underlying conformal field theory.

研究动机与目标

• 将张量网络重整化（TNR）从晶格系统扩展至连续时空中的量子场论，同时保持精确的平移与旋转对称性。
• 通过在短距离截断 $1/\Lambda$ 下对场进行弥散化，建立量子场论连续粗粒化的框架。
• 通过缩放算符 $L$ 与解 entanglement 算符 $K$ 的联合作用，构建无穷小 RG 变换，确保流结构的正确性。
• 证明 cTNR 可为二维自由标量共形场论（CFT）生成临界固定点，并从中提取其共形数据，包括标度维数与中心电荷。
• 建立弥散理论中准局域算符与共形场论（CFT）中局域主算符之间的联系。

提出的方法

• 通过旋转不变的弥散函数 $\mu(|\bm{x}-\bm{y}|)$ 对量子场进行弥散化，引入短距离截断 $1/\Lambda$，在保留连续结构的同时去除紫外涨落。
• 通过缩放算符 $L$（缩放空间）与解 entanglement 算符 $K$（实现准局域场重定义）的联合作用，定义无穷小粗粒化步骤，适用于连续时空。
• 利用算符 $L$ 与 $K$ 在张量网络空间中生成连续 RG 流，其中 $L$ 作为尺度变换的生成元，$K$ 用于消除短程纠缠。
• 构造准局域标度算符 $\mathcal{O}_{\alpha}^{\Lambda}(\bm{x})$ 作为局域 CFT 主算符 $\mathcal{O}_{\alpha}(\bm{x})$ 的弥散版本，保持其标度维数 $\Delta_{\alpha}$ 与共形自旋 $s_{\alpha}$。
• 证明算符乘积展开（OPE）与 Wightman 恒等式在弥散理论中得以保持，确保准局域应力张量 $T^{\Lambda}(z)$ 以中心电荷 $c=1$ 生成共形变换。
• 将该方法应用于二维自由标量 CFT，证明其精确保持共形对称性，并成功从临界固定点中提取共形数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将张量网络重整化扩展至连续时空中的量子场论，同时保持精确的时空对称性？
• RQ2 如何定义一种连续粗粒化程序，使其在不进行晶格离散化的情况下生成适当的 RG 流？
• RQ3 在尺度 $1/\Lambda$ 上的场弥散化在实现 TNR 算法的良定义连续极限中起到何种作用？
• RQ4 如何从连续 RG 流的临界固定点中提取共形数据（如标度维数与中心电荷）？
• RQ5 弥散理论中的准局域算符在多大程度上继承了底层 CFT 中局域算符的代数结构？

主要发现

• 连续 TNR（cTNR）算法成功为二维自由标量场论生成了适当的 RG 流，精确保持了平移与旋转对称性。
• cTNR 流的临界固定点正确再现了底层共形场论的共形数据，包括主算符的标度维数 $\Delta_{\alpha}$ 与共形自旋 $s_{\alpha}$。
• 弥散理论中的准局域应力张量 $T^{\Lambda}(z)$ 具有与原始 CFT 相同的中心电荷 $c=1$，通过 OPE $T^{\Lambda}(z)T^{\Lambda}(w) \sim \frac{1/2}{(z-w)^4} + \frac{2T^{\Lambda}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T^{\Lambda}(w)}{z-w}$ 得到验证。
• 弥散算符 $\mathcal{O}_{\alpha}^{\Lambda}(\bm{x}) = \int d\bm{y} \, \mu(|\bm{x}-\bm{y}|) \mathcal{O}_{\alpha}(\bm{y})$ 是 $L+K_\star$ 与 $R$ 的本征算符，其标度维数 $\Delta_{\alpha}$ 与共形自旋 $s_{\alpha}$ 与 CFT 中局域对应算符相同。
• $T^{\Lambda}(z)$ 与 $\partial\phi^{\Lambda}(w)$ 的 OPE 与标准 CFT OPE 一致：$T^{\Lambda}(z)\partial\phi^{\Lambda}(w) \sim \frac{\partial\phi^{\Lambda}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial^2\phi^{\Lambda}(w)}{z-w}$，证实了代数一致性。
• 该方法为晶格 TNR 提供了连续类比，实现了在不通过离散化破坏时空对称性的情况下对量子场论的直接研究。