[论文解读] Continuous-time models with an autoregressive structure

Andreas Basse-O’Connor, Mikkel Slot Nielsen+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了两种具有自回归结构的连续时间模型：随机延迟微分方程（SDDE）和基于移动平均的水平模型。文章建立了平稳解的存在性与唯一性，将其与CARMA及离散时间ARMA过程联系起来，并表明长程依赖性源于噪声过程而非核函数，且可逆CARMA过程作为SDDE框架下的解被导出。

ABSTRACT

In this paper we suggest two continuous-time models which exhibit an autoregressive structure. We obtain existence and uniqueness results and study the structure of the solution processes. One of the models, which corresponds to general stochastic delay differential equations, will be given particular attention. We use the obtained results to link the introduced processes to both discrete-time and continuous-time ARMA processes.

研究动机与目标

• 提出具有严格数学基础的连续时间自回归模型。
• 为具有广义噪声过程的随机延迟微分方程（SDDE）建立平稳解的存在性与唯一性。
• 将所提出的模型与现有类别（如CARMA和离散时间ARMA过程）建立联系。
• 阐明噪声过程在连续时间移动平均中产生长程依赖性的角色。
• 提出并分析一种新颖的水平模型公式，该公式直接定义过程本身而非其增量。

提出的方法

• 通过随机延迟微分方程（SDDE）构建连续时间自回归模型：$ dX_t = \left(\int_{[0,\infty)} X_{t-u} \eta(du)\right) dt + dZ_t $，其中 $ Z_t $ 具有平稳增量。
• 提出一种水平模型：$ X_t = \int_0^\infty X_{t-u} \phi(du) + \int_{-\infty}^t \theta(t-u) dL_u $，该模型通过其过去值和Lévy驱动的移动平均直接定义过程。
• 利用移动平均理论和随机Fubini定理，将解表示为与核 $ x_0 $ 的卷积形式，确保可积性与平稳性。
• 应用傅里叶变换和 $ L^2 $-收敛性，证明解过程是Lévy过程 $ L_t $ 的移动平均，其核为 $ \psi = \theta * x_0 $。
• 建立在适当的核与噪声条件下，可逆CARMA过程是SDDE框架下的解。
• 采用 $ L^1 $ 和 $ L^2 $ 收敛性论证，证明逼近序列的几乎必然收敛与均方收敛，从而确保解的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过广义延迟测度和具有平稳增量的噪声的随机延迟微分方程定义连续时间自回归过程？
• RQ2 所提出的模型与经典CARMA和离散时间ARMA过程之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下可保证SDDE平稳解的存在性与唯一性？
• RQ4 在连续时间移动平均中，长程依赖性是否可由噪声过程而非核函数生成？
• RQ5 是否可以将水平模型的解表示为Lévy过程的移动平均，其条件为何？

主要发现

• 当噪声过程 $ Z_t $ 的形式为 $ \int_{\mathbb{R}} [\theta(t-u) - \theta_0(-u)] dL_u $，且 $ \theta_0 $ 的选择使得核函数积分为零时，SDDE的解为平稳的连续时间移动平均过程。
• 由此产生的过程中，长程依赖性完全源于噪声过程 $ Z_t $，而非延迟测度 $ \eta $，后者必须具有紧支集以保证平稳性。
• 可逆CARMA过程被证明是SDDE框架下的解，其移动平均表示中的核 $ \psi $ 由 $ \psi = \theta * x_0 $ 给出，其中 $ x_0 $ 是与延迟相关的伏尔泰拉方程的解。
• 水平模型公式确保了解为平稳移动平均过程，当核 $ \psi $ 是卷积级数 $ \sum_{k=0}^n \theta * \phi^{*k} $ 的 $ L^2 $ 极限时成立。
• 水平模型的解在 $ L^2 $ 意义下收敛于 $ X_t = \int_{\mathbb{R}} \psi(t-u) dL_u $，其中 $ \psi $ 是级数 $ \sum_{k=0}^\infty \theta * \phi^{*k} $ 的 $ L^2 $ 极限，从而证明该过程为移动平均过程。
• 本文证明了解过程 $ X_t $ 几乎必然平稳，通过证明逼近的Riemann和在 $ L^1 $ 意义下的收敛性，以及极限的几乎必然收敛性。