[论文解读] Continuous time `true' self-avoiding random walk on Z

Bálint Tóth, Bálint Vető|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用 5

一句话总结

本论文为整数格点 ℤ 上连续时间‘真实’自避随机游走的局部时建立了极限定理，并为位移建立了局部极限定理，其中跃迁速率依赖于站点占用时间。通过采用新颖的耦合技术改进雷-诺特型论证方法，证明了归一化位移收敛于非高斯极限分布，确认了具有 $ t^{-2/3} $ 标度指数的超扩散行为，与此前关于具有长程记忆的一维自避随机游走的猜想一致。

ABSTRACT

We consider the continuous time version of the `true' or `myopic' self-avoiding random walk with site repulsion in 1d. The Ray-Knight-type method which was applied to the discrete time and edge repulsion case, is applicable to this model with some modifications. We present a limit theorem for the local time of the walk and a local limit theorem for the displacement.

研究动机与目标

• 为具有站点排斥作用的 ℤ 上连续时间真实自避随机游走的局部时建立极限定理。
• 推导该游走位移的局部极限定理，确认具有 $ t^{-2/3} $ 指数的超扩散标度。
• 将雷-诺特型方法拓展至连续时间站点排斥模型，该模型此前因局部时过程非马尔可夫性而难以处理。
• 发展新的耦合论证方法，以处理站点排斥情形下局部时过程的非马尔可夫结构。
• 确认一维真实自避随机游走具有长程记忆时的非高斯标度极限的猜想。

提出的方法

• 将离散时间边缘排斥模型中使用的雷-诺特方法（Tóth, 1995）适配至连续时间站点排斥情形。
• 定义逆局部时 $ T_{x,h} = \min\{t \geq 0 : \ell(t,x) \geq h\} $ 与停止的局部时过程 $ \Lambda_{x,h}(y) = \ell(T_{x,h}, y) $。
• 利用耦合技术将站点排斥过程与齐次马尔可夫过程进行比较，从而实现大偏差估计。
• 对由增量 $ Z_k $ 构成的更新过程应用更新理论，其中 $ Z_k $ 表示访问参考站点的时间间隔。
• 建立更新过程的年龄 $ A_t $ 与剩余时间 $ R_t $ 的指数尾部界，以控制 $ Z_{\nu_t + 1} $ 的尾部。
• 利用 $ |\eta(t)| \leq Z_{\nu_t + 1} $ 的事实，推导出转移核的统一指数衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有站点排斥作用的 ℤ 上连续时间真实自避随机游走是否表现出具有 $ t^{-2/3} $ 标度的超扩散行为？
• RQ2 尽管局部时过程具有非马尔可夫性，雷-诺特方法是否可适配至站点排斥模型？
• RQ3 在连续时间站点排斥模型中，归一化位移 $ t^{-2/3}X(t) $ 的极限分布为何？
• RQ4 如何利用耦合论证方法控制具有长程记忆的非马尔可夫过程中低于阈值的时间？
• RQ5 站点排斥模型中与局部时增量相关的更新过程的尾部性质如何？

主要发现

• 在适当的标度下，ℤ 上连续时间真实自避随机游走的局部时满足极限定理。
• 位移 $ X(t) $ 满足 $ t^{-2/3} $ 标度的局部极限定理，确认了超扩散行为。
• $ t^{-2/3}X(t) $ 的极限分布为非高斯分布，与此前关于具长记忆的一维自避随机游走的猜想一致。
• 通过新颖的耦合论证，成功将雷-诺特型方法适配至站点排斥模型，克服了非马尔可夫性的障碍。
• 由于增量分布具有指数尾部，相关更新过程的转移核在时间上一致地指数衰减。
• 更新过程的剩余等待时间 $ R_t $ 与年龄 $ A_t $ 的尾部被统一地由指数函数控制，从而对过程路径提供了严密的控制。