[论文解读] Continuous Transitive Maps on the Interval Revisited

Bau-Sen Du|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文重新审视实区间上连续传递映射，通过其唯一内点不动点的三种不同动力行为进行分类：(1) 将点移离不动点，(2) 将点移向不动点但不穿越，或 (3) 将所有点翻转至不动点的另一侧。证明此类映射恒存在所有偶数周期的周期点，且其二阶迭代是双重湍流的。主要贡献在于提出一种新的混沌性质——由同步逼近的康托集构成的、稠密且不可数的2-混沌集合——表明传递映射与具有全勒贝格测度混沌集的映射拓扑共轭。

ABSTRACT

In this note, continuous transitive maps $f$ on the interval $I$ are re-addressed, where $I$ denotes one of the intervals: $(-\infty, \infty)$, $(-\infty, a]$, $[b, \infty)$, $[a, b]$, where $a < b$ are real numbers. Such maps must have a fixed point, say $z$, in the interior of $I$. Some well-known properties of such maps are re-proved in a systematic way according to the following : (1) $f$ moves some point $c e z$ away from $z$, i.e., fo some point $c e z$, we have $f(c) \le c < z$ or $z < c \le f(c)$; (2) $f$ moves some point $\hat c e z$ towards but not "over" $z$, i.e., for some point $\hat c e z$, we have $\hat c < f(\hat c) < z$ or $z < f(\hat c) < \hat c$; and (3) $f$ moves all points $x e z$ to the other side of $z$, i.e., for all points $x e z$, we have $x < z \le f(x)$ and $f(x) \le x < z$. The proofs are arranged in such ways that they yield the same results. For example, Theorem 3 treats maps satisfying Condition (1) or Condition (2) while Theorem 4 treats separately maps satisfying Condition (1) and, Conditions (2) or (3). Characterizations of continuous bitransitive maps on an interval are re-addressed and a new chaotic property of continuous bitransitive maps is also introduced (Theorem 8, p.21). In this revision, we correct Corollary 9 and some errors in the proof of Theorem 8 and move the Appendix to a different paper [15] in which we generalize Theorem 8 for continuous weakly mixing (i.e., bitransitive) maps on intervals to continuous weakly mixing maps and continuous mixing maps on infinite separable locally compact metric spaces.

研究动机与目标

• 本文旨在使用基本且易懂的方法重新推导并系统化已知的关于实区间上连续传递映射的结果。
• 旨在阐明基于映射如何相对于其唯一内点不动点移动点而产生的动力学差异。
• 目标包括证明此类映射恒存在所有偶数周期的周期点，且其二阶迭代是双重湍流的。
• 核心目标是引入并建立一种新的混沌性质：存在稠密且不可数的2-混沌集合，其为同步逼近的康托集的并集。
• 本文旨在扩展Babilonová关于共轭性的结果，将全勒贝格测度混沌集的实现推广至所有R中的区间（而不仅紧区间），并利用Oxtoby–Ulam定理证明此类集合可通过共轭实现为全测度。

提出的方法

• 分析围绕三个互斥条件展开，描述连续传递映射f相对于其在区间I内部的唯一不动点z的行为。
• 条件(1)：存在c ≠ z，使得f将c移离z（即f(c) ≤ c < z 或 z < c ≤ f(c)）；这蕴含双传递性、湍流性，以及所有周期的周期点。
• 条件(2)：存在ĉ ≠ z，使得f将ĉ移向z但不穿越（即ĉ < f(ĉ) < z 或 z < f(ĉ) < ĉ）；这蕴含双传递性且存在所有奇数周期≥3的周期点，且f²是双重湍流的。
• 条件(3)：f将所有x ≠ z移至z的另一侧（即x < z ≤ f(x) 且 f(x) ≤ x < z）；这蕴含f不是双传递或湍流的，但f²是双重湍流的，且f存在所有偶数周期的周期点。
• 定理按产生相似结果的条件分组组织，证明依赖标准的拓扑与动力系统论证，避免使用高级工具如Sharkovsky定理或蛇形连续统。
• 本文应用Oxtoby–Ulam定理，表明由康托集构成的、测度为零的稠密2-混沌集合，可通过同胚映射至全勒贝格测度的集合，从而确立与具有全测度混沌集的映射之间的拓扑共轭关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 连续传递映射在实区间上的行为如何相对于其唯一内点不动点表现？能否基于此行为系统分类？
• RQ2 相对于不动点的三种不同点移动类型，分别蕴含哪些动力学性质（如双传递性、湍流性、周期点结构）？
• RQ3 能否为实区间上的连续传递映射建立存在稠密、不可数的2-混沌集合（其为同步逼近的康托集的并集）？
• RQ4 通过拓扑共轭，此类混沌集合在多大程度上可实现为全勒贝格测度？
• RQ5 是否可能将Babilonová关于共轭性的结果从几乎处处极混沌集合推广至所有R中的区间（而不仅紧区间）？

主要发现

• 任意区间I ⊆ R上的连续传递映射必须在I的内部有唯一的不动点z。
• 满足条件(1)的映射——将某点移离z——是双传递的、湍流的，且存在所有周期的周期点。
• 满足条件(2)的映射——将某点移向z但不穿越——是双传递的，且存在所有奇数周期≥3的周期点，其二阶迭代是双重湍流的。
• 满足条件(3)的映射——将所有点翻转至z的另一侧——既非双传递也非湍流的，但其二阶迭代是双重湍流的，且存在所有偶数周期的周期点。
• 本文证明了在区间中存在稠密且不可数的2-混沌集合，其为可数无穷多个同步逼近的康托集的并集，且较大轨道集合是不变的。
• 通过应用Oxtoby–Ulam定理，本文表明此类2-混沌集合可通过同胚映射至全勒贝格测度的集合，从而表明任意区间上的连续双传递映射与具有全测度混沌集的映射拓扑共轭。