[论文解读] Continuous-variable quantum compressed sensing

Matthias Ohliger, Vincent Nesme+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2011

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文将量子压缩感知推广至连续变量系统，采用紧框架（overcomplete, non-orthogonal measurement families）实现从少量测量中高效重建低秩量子态。提出了一种认证方法，可在无需先验假设的前提下保证重建成功，并通过受限等距性质实现鲁棒的通用重建，显著提升了光学与连续变量层析成像中的效率与抗噪声能力。

ABSTRACT

We significantly extend recently developed methods to faithfully reconstruct unknown quantum states that are approximately low-rank, using only a few measurement settings. Our new method is general enough to allow for measurements from a continuous family, and is also applicable to continuous-variable states. As a technical result, this work generalizes quantum compressed sensing to the situation where the measured observables are taken from a so-called tight frame (rather than an orthonormal basis) --- hence covering most realistic measurement scenarios. As an application, we discuss the reconstruction of quantum states of light from homodyne detection and other types of measurements, and we present simulations that show the advantage of the proposed compressed sensing technique over present methods. Finally, we introduce a method to construct a certificate which guarantees the success of the reconstruction with no assumption on the state, and we show how slightly more measurements give rise to "universal" state reconstruction that is highly robust to noise.

研究动机与目标

• 解决大规模系统中量子态层析成像的可扩展性问题，特别是在连续变量量子光学中的应用。
• 为连续测量族（在光学实验中常见）开发适用于压缩感知的框架。
• 提供一种认证机制，可在不假设态为低秩或纯态的前提下保证重建成功。
• 通过略多的测量数实现通用态重建，并具备强误差界，从而在统计噪声和退相干下保持鲁棒性，适用于谱衰减的满秩态。
• 在真实场景（如本振检测和Wigner函数逐点测量）中展示方法的实用性。

提出的方法

• 将量子压缩感知推广至紧框架——即过完备且非正交的算符族，突破正交基的限制。
• 为紧框架引入新的非相干性条件，确保对低秩态的高效压缩感知，采用扩展的“golfing”证明技术。
• 开发基于凸对偶的认证方法，可在事后验证重建成功，无需对未知态做任何假设。
• 应用受限等距性质（RIP）实现通用重建并具备强误差界，即使在统计噪声和退相干下也成立。
• 通过从酉不变分布中随机选择测量，提升每个可观测量的信息增益，利用测度集中现象。
• 通过位移算符和本振检测的数值模拟，验证单模与多模光态下的性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子压缩感知能否推广至连续测量族，如连续变量量子光学中的情形？
• RQ2 紧框架需满足何种非相干性条件，才能确保对低秩量子态的高效重建？
• RQ3 如何在不预先假设态的性质下，认证量子态重建的成功？
• RQ4 能否通过一组固定的测量集合，实现对所有低秩态的通用重建，并具备鲁棒的误差界？
• RQ5 所提出方法在真实实验场景（如本振检测或Wigner函数层析）中的表现如何？

主要发现

• 该方法仅需 $ O(rn \text{ polylog}(n)) $ 次测量即可实现对秩为 $ r $ 的态在维度为 $ n $ 的希尔伯特空间中的压缩感知重建，相比标准层析成像显著减少了测量设置数。
• 对于典型低秩态，当紧框架满足 $ \|w_\alpha\|_1 = O(\text{polylog}(n)) $ 时，仅需 $ O(n \text{ polylog}(n)) $ 次测量即可实现高效重建，即使在通用框架下也成立。
• 基于凸对偶的认证协议可在事后保证重建成功，仅引入适度的测量开销，并在统计噪声和退相干下依然有效。
• 通过使用类傅里叶紧框架并略微增加测量数，方法可实现具有强误差界的通用重建，确保对噪声的鲁棒性，并能准确逼近谱衰减的满秩态的低秩近似。
• 模拟结果表明，通过位移算符实现的本振检测可成功重建单模光态，具有高成功率和有效的认证能力。
• 全局随机测量（在酉群下不变）优于局部随机测量，因其具有更好的测度集中特性，单位可观测量可获取更多信息。