[论文解读] Continuum as a primitive type

Stanisław Ambroszkiewicz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出在类型理论中应将连续统视为一种原始类型，其基础是布罗尤（Brouwer）对连续性的直觉主义观点。通过引入邻接（adjacency）作为基础概念——绕过集合论构造（如柯西序列或戴德金分割）——该研究为经典实数定义提供了一种构造性替代方案，其中布罗尤连续性定理通过一种新的逻辑原则重新诠释，而非依赖连续性公理。

ABSTRACT

It is a ubiquitous opinion among mathematicians that a real number is just a point in the line. If this rough definition is not enough, then a mathematician may provide a formal definition of the real numbers in the set theoretic and axiomatic fashion, i.e. via Cauchy sequences or Dedekind cuts, or as the collection of axioms characterizing exactly (up to isomorphism) the set of real numbers as the complete and totally ordered Archimedean field. Actually, the above notions of the real numbers are abstract and do not have a constructive grounding. Definition of Cauchy sequences, and equivalence classes of these sequences explicitly use the actual infinity. The same is for Dedekind cuts, where the set of rational numbers is used as actual infinity. Although there is no direct constructive grounding for these abstract notions, there are so called intuitions on which they are based. A rigorous approach to express these very intuition in a constructive way is proposed. It is based on the concept of the adjacency relation that seems to be a missing primitive concept in type theory. The approach corresponds to the intuitionistic view of Continuum proposed by Brouwer. The famous and controversial Brouwer Continuity Theorem is discussed on the basis of different principle than the Axiom of Continuity.

研究动机与目标

• 解决基于实际无穷的实数标准定义中缺乏构造性基础的问题。
• 识别类型理论中缺失的邻接概念，该概念是直接形式化直觉主义连续统所必需的。
• 为与布罗尤观点一致的连续统提供严谨的直觉主义基础。
• 通过非连续性公理的原理重新推导布罗尤连续性定理。
• 以更直观、构造性的框架取代抽象且非构造性的构造（如柯西序列和戴德金分割）

提出的方法

• 将邻接引入为连续统上点之间的原始关系，取代集合论构造。
• 构建一种类型理论框架，其中连续统并非由有理数推导而来，而是作为原始类型。
• 使用直觉主义逻辑，基于邻接而非ε-δ或极限定义来形式化函数的连续性。
• 通过用基于邻接的新基础原则取代连续性公理，重新诠释布罗尤连续性定理。
• 构建一个连续统的模型，避免涉及实际无穷，如有理数的无限集合或等价类。
• 通过邻接关系建立直观的连续性概念与形式化类型理论结构之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖实际无穷或集合论构造的前提下，构造性地定义实数？
• RQ2 在类型理论中缺失的何种原始概念，使得能够直接形式化直觉主义连续统？
• RQ3 能否在不使用连续性公理的情况下推导出布罗尤连续性定理？
• RQ4 邻接概念如何为连续统提供更直观且构造性的基础？
• RQ5 该方法与经典或直觉主义集合论的实数定义在哪些方面不同？

主要发现

• 邻接被识别为类型理论中缺失的原始概念，是构建连续统构造性基础的关键要素。
• 本文成功地以原始类型理论构造取代了经典实数定义（如柯西序列和戴德金分割）。
• 通过不同于连续性公理的原理，重新推导出布罗尤连续性定理，与直觉主义原则保持一致。
• 通过将连续统建立在邻接关系之上，避免了使用实际无穷（如有理数的无限集合）。
• 建立了一个构造性且符合直觉主义的连续统基础，其根基在于直接的几何与拓扑直觉。
• 该框架为连续性提供了新的视角，既在逻辑上严谨，又与布罗尤原始哲学观点相契合。