[论文解读] Continuum Limits of Quantum Lattice Systems

Tobias J. Osborne|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2019

Quantum many-body systems被引用 9

一句话总结

本论文提出了一种基于哈密顿量的框架，用于从量子格点系统推导有效量子场论，采用张量网络态并推广了Hepp-Lieb涨落形式化方法。该方法系统地识别出涌现的连续自由度，并构建了非高斯量子场态，恢复了矩阵乘积态和投影纠缠对态的已知连续极限，并在动力学中建立了严格的光锥因果性。

ABSTRACT

We describe a general procedure to give effective continuous descriptions of quantum lattice systems in terms of quantum fields. There are two key novelties of our method: firstly, it is framed in the hamiltonian setting and applies equally to distinguishable quantum spins, bosons, and fermions and, secondly, it works for arbitrary variational tensor network states and can easily produce computable non-gaussian quantum field states. Our construction extends the mean-field fluctuation formalism of Hepp and Lieb (developed later by Verbeure and coworkers) to identify emergent continuous large-scale degrees of freedom - the continuous degrees of freedom are not identified beforehand. We apply the construction to to tensor network states, including, matrix product states and projected entangled-pair states, where we recover their recently introduced continuous counterparts, and also for tree tensor networks and the multi-scale entanglement renormalisation ansatz. Finally, extending the continuum limit to include dynamics we obtain a strict light cone for the propagation of information.

研究动机与目标

• 开发一种系统化、基于操作动机的方法，从描述为张量网络态的量子格点系统推导有效连续量子场论。
• 将Hepp和Lieb的平均场涨落形式化方法推广至张量网络态，包括非高斯和强关联系统。
• 在不预先定义的前提下，基于格点态的物理结构识别出涌现的连续自由度。
• 从变分张量网络试探态构建可计算的非高斯量子场态。
• 将连续极限扩展至动力学，确保通过光锥实现信息的严格因果传播。

提出的方法

• 在格点 $ a\mathbb{Z}^D $ 上提出一种广义平均场方法，从张量网络态中提取经典背景场。
• 将Hepp-Lieb量子涨落代数构造应用于识别经典平均场态周围的量子场涨落。
• 通过使用 $ Z_{\varphi}(a) $ 和 $ Z_{\pi}(a) $ 进行重标度，推导出量子场算符 $ \widetilde{\varphi}^{(a)}(f) $ 和 $ \widetilde{\pi}^{(a)}(g) $，以确保在连续极限下满足正则对易关系。
• 利用标度算符和本征值分析，确定场算符的正确幂律标度，以确保关联函数的收敛性。
• 施加归一化条件如 $ Z_{\varphi}(a)Z_{\pi}(a) = \frac{a}{p'} $，以在 $ a \to 0 $ 极限下恢复标准QFT对易关系。
• 将该构造应用于矩阵乘积态、PEPS、树状张量网络和MERA，恢复了已知的连续极限，并将其扩展至非高斯态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从由张量网络态描述的量子格点系统推导出有效量子场论？
• RQ2 量子涨落在强关联系统中涌现连续自由度的过程中起什么作用？
• RQ3 Hepp-Lieb涨落形式化方法能否推广至非高斯态和任意张量网络结构？
• RQ4 包含动力学后如何影响涌现量子场论的因果结构？
• RQ5 场算符的何种标度行为可确保关联函数在连续极限下的收敛性？

主要发现

• 该方法成功构建了量子场基态 $ |\Omega\rangle $ 和一组量子场算符，这些算符在连续极限下精确映射到格点可观测量。
• 对于具有磁振子激发的自旋-1/2链，场算符的标度由 $ Z_{\varphi}(a) = a^{\log_2(\sqrt{p} + \sqrt{1-p}) + 1/2} $ 确定，确保了2点函数的收敛性。
• 连续极限产生了一个明确定义的2点关联函数 $ \int dx \int_{-1}^{1} dy \, f(x)g(x+y)C(y) $，证实了场论极限的存在。
• 当应用于准自由系统时，该构造恢复了格点Klein-Gordon方程的标准连续极限。
• 将该框架扩展至动力学后，得到严格光锥以实现信息传播，与相对论因果性一致。
• 该方法可统一适用于可区分自旋、玻色子和费米子，并能从张量网络试探态生成可计算的非高斯量子场态。