[论文解读] Continuum Limits of the 1D Discrete Time Quantum Walk

Michael Manighalam, Mark Kon|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文为一维离散时间量子行走（DTQW）的连续极限建立了一个形式化框架，证明只有特定的量子比特操作能产生非平凡的极限。研究显示，空间与时间的同步连续极限会导出无质量狄拉克方程，且DTQW的连续时间极限对任意兼容的量子比特操作均可恢复到标准的连续时间量子行走（CTQW），从而在离散与连续量子动力学之间建立了严格的联系。

ABSTRACT

The discrete time quantum walk (DTQW) is a universal quantum computational model. Significant relationships between discrete and corresponding continuous quantum systems have been studied since the work of Pauli and Feynman. This work continues the study of relationships between discrete quantum models and their ostensive continuum counterparts by developing a formal transition between discrete and continuous quantum systems through a formal framework for continuum limits of the DTQW. Under this framework, we prove two constructive theorems concerning which internal discrete transitions ("coins") admit nontrivial continuum limits. We additionally prove that the continuous space limit of the continuous time limit of the DTQW can only yield massless states which obey the Dirac equation. Finally, we demonstrate that the continuous time limit of the DTQW can be identified with the canonical continuous time quantum walk (CTQW) when the coin is allowed to transition through the continuous limit process.

研究动机与目标

• 建立一维离散时间量子行走（DTQW）连续极限的一般形式化框架。
• 确定DTQW模型中哪些内部量子比特操作能允许非平凡的连续极限。
• 研究DTQW在空间与时间顺序或同步连续极限下所导致的动力学行为。
• 阐明DTQW在连续时间极限下与标准连续时间量子行走（CTQW）之间的关系。
• 在连续极限下，严格连接离散量子行走动力学与狄拉克方程。

提出的方法

• 将DTQW的演化形式化为幺正算符序列：$\Psi(x,t+\Delta t) = S C \Psi(x,t)$，其中$S$为位移算符，$C$为量子比特操作。
• 利用离散傅里叶变换分析动量空间中的时间演化，并推导出色散关系。
• 在$\Delta t$与$\Delta x$中应用渐近展开，以在连续极限下导出偏微分方程（PDE）。
• 通过傅里叶域中有效哈密顿量的特征值分解，识别极限下的动力学行为。
• 在连续时间极限下引入时间演化方程，并通过相位变换将其与CTQW联系起来。
• 通过令$\Delta t, \Delta x \to 0$且保持量子比特固定，推导出连续时空极限，得到一个狄拉克型方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 DTQW中的哪些内部量子比特操作能允许非平凡的连续极限？
• RQ2 当DTQW的空间与时间均被连续化时，会涌现出哪些动力学方程？
• RQ3 DTQW的连续时间极限是否可对任意量子比特操作等同于标准的CTQW？
• RQ4 在同步空间-时间连续极限下获得的狄拉克型方程具有何种性质？
• RQ5 DTQW的连续时间极限解与CTQW的解之间存在何种关系？

主要发现

• 只有满足特定对称性与参数约束的量子比特操作，才能在DTQW中产生非平凡的连续极限。
• 在DTQW中，空间与时间的同步连续极限会导出无质量狄拉克方程，只要步长缩放一致，无论初始量子比特为何。
• DTQW的连续时间极限再取连续空间极限，结果仍为无质量狄拉克方程，证实了顺序极限的一致性。
• 对任意可实现向连续时间平滑过渡的量子比特，DTQW的连续时间极限可精确映射到标准CTQW，建立了直接的动力学等价性。
• 极限动力学由如下狄拉克型PDE控制：$i\partial_t \Psi = (i\hat{A}\partial_x + \hat{B})\Psi$，其中$\hat{A}$与$\hat{B}$由量子比特与位移算符导出。
• 极限哈密顿量的本征模态满足的时间演化方程，在相位变换下可简化为CTQW形式，从而证明了二者等价。