[论文解读] Continuum Line-of-Sight Percolation on Poisson-Voronoi Tessellations

Quentin Le Gall, Bartłomiej Błaszczyszyn+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2019

Point processes and geometric inequalities参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在Poisson-Voronoi剖分上基于连续视线的渗透模型，其中用户和中继节点分别随机分布在边和顶点上，连接仅限于视线范围内且距离固定。关键结果包括：存在0-1律、非平凡的亚临界相和超临界相，通过粗粒化和稳定化论证证明，并在平面情况下给出了临界参数的数值估计。

ABSTRACT

In this work, we study a new model for continuum line-of-sight percolation in a random environment driven by the Poisson-Voronoi tessellation in the $d$-dimensional Euclidean space. The edges (one-dimensional facets, or simply 1-facets) of this tessellation are the support of a Cox point process, while the vertices (zero-dimensional facets or simply 0-facets) are the support of a Bernoulli point process. Taking the superposition $Z$ of these two processes, two points of $Z$ are linked by an edge if and only if they are sufficiently close and located on the same edge (1-facet) of the supporting tessellation. We study the percolation of the random graph arising from this construction and prove that a 0-1 law, a subcritical phase as well as a supercritical phase exist under general assumptions. Our proofs are based on a coarse-graining argument with some notion of stabilization and asymptotic essential connectedness to investigate continuum percolation for Cox point processes. We also give numerical estimates of the critical parameters of the model in the planar case, where our model is intended to represent telecommunications networks in a random environment with obstructive conditions for signal propagation.

研究动机与目标

• 通过基于Poisson-Voronoi剖分的随机几何结构，对遮挡城市环境中设备到设备的无线网络进行建模。
• 分析由分布在边上的用户和顶点上的中继节点构成的连通图的渗透行为，连接限制在视线范围内且距离有限。
• 建立该随机网络模型中渗透的0-1律、亚临界相和超临界相的存在性。
• 通过蒙特卡洛模拟，在平面情况下提供临界参数（如中继密度阈值）的数值估计。
• 通过结合软几何（用户随机分布）与硬几何（基于边长）的边渗透，在随机支撑上推广现有模型。

提出的方法

• 将城市道路网络建模为d维空间中Poisson-Voronoi剖分的1维面（边）。
• 通过强度为λ的Cox点过程在边上放置用户，通过参数为p的独立伯努利过程在顶点上放置中继节点。
• 通过定义连通图G，当节点位于同一条边上且距离在固定范围r内时即建立连接。
• 利用粗粒化和稳定化技术分析渗透，依赖于剖分的渐近本质连通性。
• 利用叠加过程的遍历性和混合性，证明渗透概率的0-1律。
• 在平面情况下进行蒙特卡洛模拟，估算不同参数区间下p和r的临界阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 由Poisson-Voronoi剖分上用户和中继节点构成的连通图是否表现出渗透行为的相变？
• RQ2 临界中继密度p*为何值，使得当p < p*时，无论其他参数如何，渗透均不可能发生？
• RQ3 在何种条件下模型表现出非平凡的亚临界相，其与连通范围r的关系如何？
• RQ4 软几何（基于用户）与硬几何（基于边长）组件如何相互作用以决定网络连通性？
• RQ5 该模型能否推广至其他随机剖分（如Poisson-Delaunay或加权Voronoi剖分），同时保持渗透性质？

主要发现

• 连通图的渗透概率满足0-1律，即由于底层点过程的混合性，其值几乎必然为0或1。
• 存在一个非平凡的临界中继密度p* ∈ (0,1)，当p < p*时，即使连通范围无限，渗透也无法发生，这是由于Poisson-Voronoi点渗透中存在非平凡阈值。
• 当连通范围r足够小时，存在亚临界相，表明即使中继密度为正，渗透也极不可能发生。
• 对于所有r > 0，均存在超临界相，即当p > p*时，只要r足够大，渗透几乎必然发生。
• 平面情况下的数值模拟提供了临界参数的估计，包括亚临界与超临界相之间的分界线。
• 该模型同时推广了PVT点渗透和PVT边渗透（硬几何与软几何），构成一类具有视线约束的随机支撑上新的随机连接模型。