[论文解读] Continuum model of the simple dielectric fluid: Consistency between density based and continuum mechanics methods

Michiel Sprik|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2020

Electrostatics and Colloid Interactions参考文献 71被引用 5

一句话总结

本文通过使用埃里克斯滕的变分静电学方法并引入矢量势，将密度泛函理论（DFT）与连续介质力学在简单介电流体中建立了统一。该方法推导出一个明确定义的应力张量，表明连续介质力学中的力平衡方程与DFT的平衡条件一致，解决了压力张量计算中的模糊性问题，并验证了变分电磁-力学方法在极性流体中的适用性。

ABSTRACT

The basic continuum model for polar fluids is deceptively simple. The free energy integral consists of four terms: The coupling of polarization to an external field, the electrostatic energy of the induced electric field interacting with itself and the stored polarization energy quadratic in the polarization. A local function of density accounts for the mechanical state of the fluid. Viewed as a non-equilibrium free energy functional of number density and polarization, minimization in these two densities under constraints of the Maxwell field equations should lead the correct equilibrium state. The alternative is a continuum mechanics approach in which the mechanical degree of freedom is extended to full deformation. We show that the continuum electromechanics method leads to a force balance equation which is consistent with the density functional equilibrium equation. The continuum mechanics procedure is significantly more demanding. The gain is a well defined pressure tensor derived from deformation of total energy. This resolves the issue of the uncertainty in the pressure tensor obtained from integration of the force density, which is the conventional method in density based thermomechanics. Our derivation is based on the variational electrostatics approach developed by Ericksen (Arch. Rational Mech. Anal. {\bf 183} 299 (2007)).

研究动机与目标

• 本文旨在解决传统DFT方法中通过力密度积分导致的应力张量计算不一致问题。
• 研究DFT中通过密度-极化变分得到的平衡条件是否与连续介质力学中的力平衡方程一致。
• 本研究聚焦于一个简单的介电流体模型，以检验在体积守恒形变存在下连续介质电磁-力学的有效性。
• 旨在通过拉格朗日电磁-力学方法，为可极化流体中的应力张量推导提供严格的理论基础。
• 通过将变分电磁-力学方法扩展至微观系统，为未来在分子密度泛函理论（MDFT）中的应用提供支持。

提出的方法

• 本文采用埃里克斯滕的变分静电学框架，引入矢量势作为扩展的变分自由度，以满足介电位移场的无散条件。
• 应用多尔夫曼与奥格登提出的拉格朗日（物质）电弹性理论，将欧几里得场变量转换为物质坐标系。
• 在拉格朗日框架下，以介电位移和电场表示能量泛函，通过能量变分推导应力张量。
• 基于虚功原理与变分法，从总能量泛函中推导出麦克斯韦应力张量。
• 推导出力平衡方程（电磁柯西方程），并与DFT中密度和极化的欧拉-拉格朗日方程进行比较。
• 系统性地展示了各项（包括外部凯尔文力）的抵消，从而实现DFT与连续介质力学方法的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于DFT中密度与极化变分得到的平衡条件，是否与简单介电流体中连续介质力学的力平衡方程一致？
• RQ2 通过连续介质力学推导出的应力张量，是否与DFT中通过力密度积分获得的压力张量一致？
• RQ3 埃里克斯滕的变分静电学方法能否成功扩展至介电流体，以确保与力学平衡的一致性？
• RQ4 在力学描述中引入体积守恒形变，是否会影响DFT预测的平衡状态？
• RQ5 电弹性拉格朗日公式能否提供一个明确定义的应力张量，从而解决传统DFT方法中应力计算的模糊性？

主要发现

• 从连续介质力学推导出的力平衡方程，与基于DFT的密度和极化变分得到的平衡条件在数学上完全等价。
• 通过拉格朗日电磁-力学方法推导出的应力张量是明确定义的，且消除了传统力密度积分方法固有的模糊性。
• 在变分框架中，外部凯尔文力被系统性抵消，这一结果依赖于埃里克斯滕场能泛函的特定形式。
• 推导结果表明，尽管最初对机械贡献的缺失存在担忧，但体积守恒形变并不会使DFT的平衡条件失效。
• 力平衡方程中各项的抵消并非线性本构行为的直接结果，而是埃里克斯滕能泛函的内在特性。
• 本工作为将变分电磁-力学方法推广至分子密度泛函理论提供了严格的理论基础，尤其适用于具有非均匀场和界面的体系。